SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS.
Para resolver sistemas de ecuaciones con mas de dos variables se puede utilizar el método de sustitución, o la técnica de reducción. El método de reducción es el mas óptimo puesto que al realizar operaciones entre las filas, es mas corto y directo para encontrar las soluciones del sistema.
Teorema: (Transformaciones elementales de las filas e una matriz).
Dada la matriz de un sistema de ecuaciones lineales, las siguientes transformaciones conducen a la matriz de un sistema de ecuaciones lineales equivalente:
Intercambiar filas cualquiera
Multiplicar todos los elementos de una fila por el mismo número real k distinto de cero.
Sumar a los elementos de una fila, k veces los correspondientes elementos de cualquier otra fila, en donde k es un numero real.
Hallar las soluciones del sistema:
\(x-2y+3z=4\)
\(2x+y-4z=3\)
\(-3x+4y-z =-2\)
Solución: Empezamos por eliminar a \(4\) en la segunda y tercera ecuaciones.
Si a la segunda ecuación le sumamos -2 veces la primera obtenemos el sistema equivalente.
\(5y-10z=-5\)
\(-2y+8z=10\)
Si ahora se suma a la tercera ecuación 3 veces la primera,
Para simplificar los cálculos, multiplicamos la segunda ecuación por \({1\over5}\), osea
\(x-2y+3z=\)
\(y-2z=-1\)
\(-2y+8z =10\)
Ahora se elimina y de la tercera ecuación sumándole 2 veces la segunda. Con esto tenemos el sistema
\(4z=8\)
Por ultimo, multiplicando la tercera ecuación por \({1 \over 4}\) se obtiene
\(z=2\)
Las soluciones del ultimo sistema son fáciles de obtener mediante un procedimiento conocido como sustitución hacia atrás. Así, de la tercera ecuación se obtiene \(z = 2\). Sustituyendo \(z\) por \(2\) en la segunda ecuación, \(y-2z=-1\).
\(y-2(2)=-1 \, o\, bien \,y= 3\)
Finalmente, encontramos el valor de \(x\) sustituyendo \(y\) y \(z\) en la primera ecuación.
Esto es,
\(x-2(3)+3(2)=4 o\, sea\,x=4\)
Existe por lo tanto una solución para el sistema \((4,3,2)\).
Como en todo sistema de tres ecuaciones lineales se puede mostrar que el sistema tiene una solución única, o un numero infinito de soluciones o no tiene soluciones.
Posteriormente se resolverá el anterior sistema de ecuaciones empleando otra metodología.
Solución: Se empieza con la matriz del sistema y después se cambia su forma mediante transformaciones elementales entre filas. Para especificar cada transformación se empleara la letra R con el subíndice respectivo de la fila a la cual se va a operar.
Así en la primera transformación en lo que sigue, -2R1 + R2 indica que se suma el segundo renglón menos dos veces el primero. En la segunda transformación, 3R1 + R3 indica que se suma el tercer renglón 3 veces el primero. En la tercera transformación, \({1 \over 5}\) R2 indica que el segundo renglón ha sido multiplicado por \({1 \over 5}\), y así sucesivamente.
La matriz se emplea para volver al sistema de ecuaciones
que es equivalente al sistema original. Las soluciones se encuentran ahora mediante sustitución hacia atrás.
Así, de la tercera ecuación se obtiene \(z = 2\). Sustituyendo \(z\) por \(2\) en la segunda ecuación, \(y-2z=-1\).
\(y-2(2)=-1 \,o\,bien\,y=3\)
\(x-2(3)+3(2)= 4 \, o \,sea\, x=4\)
PREGUNTA: ¿Cuál es la solución del siguiente sistema:
\(x-2y-3z=-1\)
\(2x+y+z=6\)
\(x+3y-2z=1\)