PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN SISTEMAS DE ECUACIONES.
Para continuar con el estudio de los sistemas se resolverán problemas planteando ecuaciones con dos incógnitas. Para solucionar un problema, primero debemos entender su respectivo enunciado siendo muy estrictos en su lectura: después, identificar los datos conocidos y los desconocidos; por último, diseñar una estrategia que nos permita hallar la respuesta correcta.
En las pasadas vacaciones Pedro, Pedro y algunos amigos viajaron a San Andrés y Providencia. Cuando fueron a comprar los pasajes, no pudieron viajar todos por la misma aerolínea. Seis personas viajaron por la aerolínea A en la cual el costo del pasaje , por persona, es $5600 mas que en la aerolínea B. Si en total viajaron 14 personas y el costo de todos los pasajes fue $1´053.300 ¿cuanto vale el pasaje en cada aerolínea ?
Debemos averiguar el precio del pasaje, por persona, en cada aerolínea.
Si llamamos \(x\) al costo del pasaje en la aerolínea A y \(w\) al costo del pasaje en la aerolínea B, se podrían organizar los datos de la siguiente manera:
Ahora podemos plantear la ecuación 1 teniendo en cuenta los datos de la tabla.
\(1053300 =6x+8w\) 1
Como el costo del pasaje en la aerolínea A es $5600 mas que en la aerolínea B, podemos expresarlo por medio de la ecuación 2:
\(x=w+5600\) 2
Reemplazando la ecuación 1 el valor de \(x\) dado en la ecuación 2 , tenemos:
\(6(w+5600)+8w=1053300\)
\(6w+33600+8w=1053300\)
\(14w+33600=1053300\)
\(14w=1019700\)
\(w=72 835,71\)
Por tanto \(x=72.835,71\)
El costo del pasaje en la aerolínea A es $ \(78 435,71\) y en la aerolínea B es $ \(72 835,71\).
Además \(78435,71*6+72835,71*8=470614,26+582685,68 = 1053299,94\)
Ejemplo : ¿seria posible con \(40 pie^{2}\) de vidrio un acuario con fondo de cristal y extremos cuadrados que pudiera contener \(16 pie^{3}\) de agua?
Solución: se puede empezar dibujando un acuario típico y marcándolo, en la que \(x\) y \(y\) están en pies. Haciendo referencia a la figura y utilizando las formulas para el área y el volumen que se ve:
\(Volumen\, del\, acuario = x^{2}y=16\)
\(Hoja\,de\,vidrio (en pie^{2}) que\,se\,necesita\,= 2x^{2}+4xy\)
Puesto que el volumen y la cantidad de vidrio requerido son 16 y 40, respectivamente, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
\(x^{2}y=16\)
\(2x^{2}+4xy=40\)
Resolviendo la primera ecuación para evaluar y se obtiene \(y=\frac{16}{x^{2}}\) sustituyendo y en la segunda ecuación se llega a
\(2x^{2}+4x({16 \over x^{2}})=40\)
\(2x^{2}+ {64 \over x} =40\)
\(2x^{3}+64=40x\)
\(x^{3}-20x+32=0\)
En seguida se buscan las soluciones racionales de esta ecuación. Dividiendo sintéticamente el polinomio \(x^{3}-20x+32=0\) entre \(x-2\) se obtiene:
Entonces, una solución de \(x^{3}-20x+32=0\) es \(2\) y las soluciones restantes satisfacen
\(x{2}+2x-16=0\)
Usando la formula cuadrática se obtiene:
\(x=-1 +/- \sqrt{17}\).
\(x\equiv 3,12\)
Los valores correspondientes de \(y\) se pueden encontrar a partir de \(y={16 \over x^{2}}\). Por una parte, tomando \(x=2\) se encuentra \(y=4\). Por otra parte, \(si x=-1 + \sqrt{17}\) \(y = 1,64\), por lo tanto hay dos maneras de construir el acuario. Posiblemente la mejor sea de \(2\) pies por \(2\) pies por \(4\) pies.
En el siguiente video encuentre una interpretación muy interesante, para la solución de un problema con sistemas de ecuaciones:
Fuente: http://www.youtube-nocookie.com/embed/sb3ixoa6NeE?rel=0
PREGUNTA: La suma de los dígitos de las decenas y de las unidades de un número de dos cifras es \(12\). Si al número se le resta \(18\), las cifras del número original se invierten.¿ Cuál es el número original?