TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, osea, cuando es el producto de dos factores iguales.
Así, \(4a^{2}\) es cuadrado perfecto por que es el cuadrado perfecto de \(2a\).
En efecto: \((2a)^{2}=2a*2a=4a^{2}\) y \(2a\), que multiplicada por si misma da \(4a^{2}\), es la raíz cuadrada de \(4a^{2}\).
Obsérvese que \((-2a)^{2}=(-2a)*(-2a)=4a^{2}\); luego \(-2a\) es también la raíz cuadrada de \(4a^{2}\).
Se hará énfasis en las raíces positivas en esta respectiva lección:
RAIZ CUADRADA DE UN MONOMIO.
Para extraer la raíz cuadrada de un monomio se extrae la raíz cuadrada de su coeficiente y se divide el exponente de cada letra por \(2\).
Así la raíz cuadrada de \(9a^{2}b^{4}\) es \(3ab^{2}\) por que \((3ab^{2})^{2}=3ab^{2}*3ab^{2}=9a^{2}b^{4}\).
La raíz cuadrada de \(36x^{6}y^{8}\) es \(6x^{3}y^{4}\).
Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, o sea, el producto de dos binomios iguales.
Así, \(a^{2}+2ab+b^{2}\) es cuadrado perfecto por que es el cuadrado de \(a+b\)
En efecto:
\((a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a^{2}+2ab+b^{2}\).
Del mismo modo, \((2x+3y)^{2}=4x^{2}+12xy+9y^{2}\) luego \(4x^{2}+12xy+9y^{2}\) es un trinomio cuadrado perfecto.
REGLA PARA FACTORAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
Se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer términos del trinomio y se separan estas raices por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raiz cuadrada del trinomio, se multiplica por si mismo o se eleva al cuadrado:
Ejemplo 1: Factorar: \(m^{2}+2m+1\)
\(m^{2}+2m+1=(m+1)(m+1)=(m+1)^{2}\)
Ejemplo 2: Descomponer \(4x^{2}+25y^{2}-20xy\)
\(4x^{2}+25y^{2}-20xy=(2x-5y)(2x-5y)=(2x-5y)^{2}\)
DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS
\(a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\)
Regla para factorar una diferencia de cuadrados:
Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raices cuadradas por la diferencia entre al raíz del minuendo y al del sustraendo.
1. Factorar: \(1-a^{2}\) La raíz cuadrada de \(1\) es \(1\); la raíz cuadrada de \(a^{2}\) es \(a\). Multiplico la suma de estas raíces \(1+a\) por la diferencia \(1-a\) y tendremos:
\(1-a^{2}=(1+a)(1-a)\)
2. Descomponer \(16x^{2}-25y^{4}\)
\(16x^{2}-25y^{4}=(4x+5y^{2})(4x-5y^{2})\)
Trinomio de la forma \(x^{2}+bx+c\)
Trinomios de la forma \(x^{2}+bx+c\) son trinomios como
\(x^{2}+5x+6\) \(m^{2}+5m-14\)
\(a^{2}-2a-15\) \(y^{2}-8y+15\)
que cumplen las condiciones siguientes:
1. El coeficiente del primer término es \(1\).
2. El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.
3. El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente \(1\) y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
4. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primero y segundo términos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
Regla practica para factorar un trinomio de la forma \(x^{2}+bx+c\)
1. El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es \(x\), osea la raíz cuadrada del primer término del trinomio.
2. En el primer factor, después de \(x\) se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo factor, después de \(x\) se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio.
3. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos de los binomios.
4. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos distintos se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de esos números es el segundo término del primer binomio, y el menor, el segundo término del segundo binomio.
Ejemplo 3: Factorar \(x^{2}+5x+6\)
El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada de \(x^{2}\) osea \(x\):
\(x^{2}+5x+6\,\,\,(x\,\,\,)(x\,\,\,)\)
En el primer después de \(x\) se pone signo \(+\). En el segundo binomio, después de \(x\), se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de \(+5x\), por el signo de \(+6\) y se tiene que \(+\) por \(+\) da \(+\) o sea:
\(x^{2}+.5x+6\,\,\,(x+\,\,)(x+\,\,)\)
Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos números cuya suma sea \(5\) y cuyo producto sea \(5\). Esos números son \(2\) y \(3\), luego:
\(x^{2}+5x+6\,\,\,=(x+2)(x+3)\).
Ejemplo 4: Realizando el mismo procedimiento anterior factorar \(x^{2}-7x+12\).
\(x^{2}-7x+12\,\,\,(x-3)(x-4)\)
TRINOMIO DE LA FORMA \(ax^{2}+bx+c\)
Son trinomios de esta forma: \(2x^{2}+11x+5\)
\(3a^{2} + 7a-6\)
\(7m^{2} - 23m+6\)
Estos se diferencian de los trinomios estudiados en el caso anterior en que el primer término tiene un coeficiente distinto de \(1\).
Descomposición en factores de un trinomio de la forma \(ax^{2}+bx+c\)
Factorar \(6x^{2}-7x-3\)
Multipliquemos el trinomio por el coeficiente de \(x^{2}\) que es \(6\) y dejando indicado el producto de \(6\) por \(7x\) se tiene:
\(36x^{2} - 6(7x) - 18\)
Pero \(36x^{2}=(6x)^{2}\, y \,6(7x)=7(6x)\) luego podemos escribir: \((6x)^{2}-7(6x)-18\)
Descomponiendo este trinomio:
\((x - \,\, )(x + \,\,)\)
Ahora dos números cuya diferencia sea \(7\) y cuyo producto sea \(18\) son \(9\) y \(2\).
\((6x - 9)(6x + 2)\)
Como ninguno de los binomios es divisible por \(6\) (para no alterar el resultado) dividiendo entre \(3\) y \(2\) respectivamente obtenemos:
\(\frac{(6x-9)(6x+2)}{2*3}=(2x-3)(3x+1)\)
PREGUNTA: Si factoramos el trinomio \(20x^{2}+7x-6\) ¿Cuál es el resultado?