RADICACIÓN Y LOGARITMACIÓN EN LOS NÚMEROS REALES
El proceso que sirve para calcular la base cuando se conocen el exponente y la potencia, se llama radicación. La radicación es una de las dos operaciones inversas de la potenciación.
Observemos:
En esta notación el índice corresponde al exponente de la potencia, el subradical es la potencia y el resultado o raíz es la base. Por ello, tenemos la siguiente equivalencia:
\(7^3=343\Leftrightarrow\sqrt[3]{347}=7\) o, en general, \(a^n=b\Leftrightarrow\sqrt[n]{b}=a\)
La raíz cuadrada positiva de un número real \(b\) positivo es el único número real \(a\) positivo que cumple \(a^2= b\). En tal caso se escribe: \(a=\sqrt{b}\). Existe un número negativo que elevado al cuadrado da \(b\). Este se nota como \(-\sqrt{b}\).
La raíz cúbica de un número real \(b\) es un número real \(a\) que cumple \(a=b\); en tal caso se escribe: \(a=\sqrt[3]{b}\)
Una raíz n-ésima, de un número real \(b\) , es un número real \(a\) que cumple \(a^n=b\). En tal caso se escribe: \(a=\sqrt[n]{b}\), en donde \(n\) es un número natural.
De acuerdo con los resultados de la potenciación ya estudiados, la radicación se comporta tal como lo muestra la tabla:
Ejemplo 1: Hallemos las raíces reales de:
La radicación cumple algunas propiedades que permiten agilizar el cálculo de raíces. Algunas se usan en los siguientes cálculos.
Simplifiquemos cada expresión.
a) \(\sqrt[3]{2\time 5^3}=\sqrt[3]{2}\time \sqrt[3]{5^3}=\sqrt[3]{2}\time 5=5\sqrt[3]{2}\)
La radicación es distributiva respecto a la multiplicación y a la división de números reales, es decir:
\(\sqrt[n]{a\time b}=\sqrt[n]{a}\time \sqrt[n]{b}\)
Ejemplo: \(\sqrt[3]{8 \time 27}= \sqrt[3]{8} \time \sqrt[3]{27}=2 \time 3=6\).
\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\,\,\,\neq 0\)
Ejemplo: \(\sqrt[3]{\frac{64}{8}}= \frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{8}}= \frac{4}{2}=2\).
Por otra parte, de acuerdo con la definición de radicación: para todo número real \(x\) positivo, \(\sqrt[n]{x^n}=x\).
Ejemplo 2: \(\ sqrt[5]{12^5}= 12\).
Cuando se tiene una fracción con radicales, algunas veces es necesario expresarlo de modo que no aparezca una raíz de algún número en el númerador o en el denominador de ella. ¿Cómo proceder en tal caso para lograr ese resultado?. Veamos el siguiente ejemplo:
Expresemos la raíz \(\sqrt[3]{\frac{4\time 5^3}{9}}\) , de tal modo que no aparezcan raíces en el númerador.
Como \(4=2^2\) y la radicación se distribuye respecto a la multiplicación y a la división, la raíz se puede expresar como:
\(\sqrt[3]{\frac{2^2\time 5^3}{9}}=\frac{5\time \sqrt[3]{2^2}}{\Large\sqrt[3]{9}}\)
Como no se quiere tener raíces en el numerador y para ello se debe tener \(2^3\) como cantidad bajo el radical, será necesario amplificar la fracción por \(\sqrt[3]{2}\). De esa manera queda:
\(=\frac{(5\time \sqrt[3]{2^2})(\sqrt[3]{2})}{\Large{\sqrt[3]{9}\time \sqrt[3]{2}}}\)
\(=\frac{5\time \sqrt[3]{2^3}}{\Large{\sqrt[3]{18}}}=\frac{5\time 2}{\Large{\sqrt[3]{18}}}\)
\(=\frac{10}{\Large{\sqrt[3]{18}}}\)
Una fracción con radicales en alguno de sus términos o en ambos, puede reducirse a una fracción en la cual un término determinado no tenga radical. El procedimiento que permite lograrlo se llama racionalización.
Ejemplo 3: Racionalizar el denominador de \(\frac{1}{\Large\sqrt{3}}\)
\(=\frac{1\time \sqrt{3}}{\Large\sqrt{3}\time \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
PREGUNTA: Racionalizar el denominador \(\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)