MÁQUINAS TÉRMICAS
Máquinas Térmicas:
Toda máquina térmica utilizada como motor absorbe una cantidad de calor \(Q_c\) de un foco caliente a la temperatura \(T_c\) (caldera, horno, etc) y por medio de una sustancia que trabaja” (agua, vapor, gasolina, etc.) efectúa un trabajo \(W\) y cede una cantidad de calor \(Q_f\) a un foco frío a la temperatura más baja \(T_f\) (condensador, ambiente, etc.) Es evidente que las palabras caliente y frío son relativas.
Podemos representar esquemáticamente estas diferentes transformaciones por un diagrama de flujo:
Los flujos de calor y el trabajo se representan por tubos cuyo ancho es proporcional a la magnitud de \(Q\) y de \(W\), y la máquina por un círculo.
También una máquina térmica se puede utilizar como refrigerador. La máquina, representada por un cuadrado en la figura siguiente toma el calor \(Q_f\) del foco frío y con un aporte de trabajo \(W\) del exterior, entrega el calor \(Q_c\) al foco caliente.
Rendimiento de una máquina:
El calor que se puede transformar en una máquina es:
\(Q\ =\ Q_c \ - \ Q_f\)
En la ecuación anterior, \(Q_c\) y \(Q_f\) son cantidades positivas. Si la máquina efectúa un ciclo, el estado inicial y final de la “sustancia que trabaja” con los mismos y por tanto no hay variación de la energía interna y tenemos según la primera ley de la termodinámica:
\(E_{int} \ = \ 0 \ = \ Q \ - \ W\)
entonces tenemos:
\(w=Q\)
en otras palabras podemos decir que el calor neto \(\left(calor\ suministrado\ - \ calor \ expulsado\right)\) que se transforma en una máquina en un proceso cíclico es igual al trabajo realizado por la máquina.
Se definirá RENDIMIENTO O EFICIENCIA TÉRMICA de una máquina a la razón del trabajo realizado al calor suministrado por el foco caliente, o sea:
\(R \ = \ \frac{W}{Q_c}\)
\(R \ = \ \frac{Q_c \ - \ Q_f}{Q_c}\)
\(R = 1 \ - \ \frac{Q_f}{Q_c}\)
Debido principalmente al rozamiento, el trabajo útil o verdadero realizado por una máquina es siempre menor que \(W\) y por tanto, el rendimiento de una máquina es siempre menor que el rendimiento térmico.
Se debe agregar que aunque ciertas máquinas térmicas reales no hacen recorrer un ciclo a la sustancia que trabaja, siempre se las puede estudiar mediante procesos cíclicos que se aproximan a su verdadero funcionamiento.
EJEMPLO 1: Subimos agua de un pozo de \(10 \ m\) de altura con un cubo de masa \(2 \ kg\) y capacidad \(10 \ litros\) por medio de una polea. Cada metro de cuerda empleada tiene una masa de \(100 \ g\).
Utiliza \(g \ = \ 9.81 \ m/s^2\)
a) Calcula la fuerza máxima y mínima empleada para subir el agua.
b) Calcula el trabajo necesario y el trabajo útil.
c) ¿Cómo obtenemos un mayor rendimiento con el caldero lleno o medio lleno?
d) ¿Cuál es el rendimiento máximo con este caldero y cuerda?
e) ¿Podrías diseñar un sistema que aumentara el rendimiento de esta máquina a casi el \(100\ %\)?
f) Diseña un aparato para aumentar tu fuerza muscular aplicada a la cuerda que va a la polea.
Solución:
Datos:
\(g\ = \ 9.81 \ m/s^2\)
\(m_{cubo} =\ 2 \ Kg\)
\(V_{cubo} = \ 10\ litros\)
\(d\ =\ 10\ m\)
a) Para subir la masa de agua debemos subir también la masa del cubo y de la cuerda. El trabajo empleado en subir el agua es el trabajo útil, el resto será un trabajo no deseado pero que no nos queda más remedio que realizar, es el que llamamos trabajo necesario.
Para calcular la masa del agua debemos emplear la fórmula de la densidad:
\(D\ =\ \frac{m}{V}\)
Esto significa que la densidad del agua es igual a su masa dividido en el volumen donde está contenida. Si sabemos que internacionalmente la densidad del agua equivale a: \(D_{agua} \ = \ 1\ gr/cm^3\) ó \(1000\ Kg/m^3\) y que: \(1ml\ = \ 1\ cm^3\) ó \(1000L\ = \ 1\ m^3\), entonces la masa del agua es:
\(m_{agua}\ =\ D \times V \ = \ \left(1\ gr/cm^3\right)\left(10\ 000\ cm^3\right)\)
\(m_{agua}\ =\ 10\ Kg\)
Peso agua contenida en el cubo es:
\(w_{agua}= \ m*g \ = \ \left(10 \ kg\right) \left(9.81 \ m/s^2\right)\)
Peso del cubo es:
\(w_{cubo} \ = \ m*g \ = \ \left(2\ kg\right) \left(9,81 \ m/s^2 \right)\)
Masa de la cuerda cuando está colgando toda es:
\(m_{cuerda} \ =\ \left(10 \ m \right) \left(0,1 \ kg/m\right) \ = \ 1\ Kg\)
Peso de la cuerda colgando al máximo es:
\(w_{cuerda} \ = \ \left(1\ Kg\right) \left( 9,81 \ m/s^2\right) \ = \ 9,81 \ N\)
Fuerza que debemos emplear cuando cuelga toda la cuerda y cuando está recogida con el cubo arriba:
\(F_{total} \left(\ m \acute{a}xima\right) \ = w_{agua} + w_{cubo} + w_{cuerda}\)
\(F_{total} \left(\ m \acute{i}nima\right) \ = w_{agua} + w_{cubo}\)
Tenemos entonces:
\(F_{total} \left(m \acute{a}xima\right) = \left(10\ Kg \right) \left(9,81 \ m/s^2\right) + \left(2\ Kg \right) \left(9,81 \ m/s^2\right) + \left(1 \ Kg\right) \left(9,81 \ m/s^2 \right) \ = \ 127,53\ N\)
\(F_{total} \left(m \acute{i}nima\right) = \left(10\ Kg\right) \left(9,81 \ m/s^2\right) + \left(2\ Kg\right) \left(9,81 \ m/s^2\right) = \ 117,72\ N\)
\(F\) en medio del recorrido es:
\(F = F_{media} = \frac{\left(F_{max} + F_{min}\right)}{2}\ =\ 122,62\ N\)
b) Trabajo necesario es el trabajo total para subir el agua, el cubo y la cuerda es:
\(W_{total}= F_{media} \times d = 122,62\ N 10\ m = 1226,2\ J\)
Entonces el trabajo total corresponde al área encerrada en \(ABCD\) que equivale al producto \(F_m \times DC\)
\(DC\) es el recorrido \(d\).
Trabajo útil (sólo el realizado para subir el agua) es:
\(W_{\acute{u}til} = w_{agua} \times d\)
\(W_{\acute{u}til}=\left(10\ Kg\right)\left(9,81 m/s^2\right)\left(10\ m\right)=\ 981\ J\)
El trabajo útil corresponde al área encerrada en \(EFCD\) que equivale al producto de \(F_{\acute{u}til}\)·por \(DC\)
e) Rendimiento es:
\(R\ =\ W_{\acute{u}til} / W_{total} =\ 0,8\)
Como el rendimiento es un porcentaje debemos multiplicar el resultado por \(100\ %\)
\(R=\ 80\ %\)
Los motores tienen rendimientos mucho menores, inferiores al \(60\ %\).
Incluso las calderas de calefacción que sólo queman combustible y calientan agua tienen rendimientos menores (parte del calor se va en los gases calientes que expulsan, etc).
Si has estudiado integrales y quieres ver como se resolvería el problema anterior usándolas pulsa en este botón.
f) Diseño de un sistema que aumenta el rendimiento de subir el agua a casi el \(100\ %\).
Para calcular el rendimiento siempre se debe pensar en un ciclo completo (proceso de bajar y subir el caldero). Igual criterio se emplea en los motores de varios tiempos para calcular el rendimiento. Si empleamos la caída del caldero y de la cuerda para cargar un muelle espiral (como el que recoje el cable de la aspiradora, pero más fuerte), podemos utilizar la recuperación de ese muelle para que nos devuelva la energía potencial acumulada al subir el caldero y la cuerda. Sólo perderíamos el trabajo necesario para hacer rodar la polea sobre su eje, que es mucho menor que la de subir el caldero sin agua. El muelle recuperador iría colocado en el extremo de la cuerda por el lado opuesto a donde sujeta el caldero.
El torno.Es un cilindro que gira respecto a un eje central y tiene aplicada en su eje una manivela de mayor radio que el cilindro para hacerlo girar. El torno es una máquina simple que permite aumentar nuestra fuerza.
Colocando un torno y sujetando la cuerda a él puedo aumentar mi fuerza en un factor dado por el cociente del radio de la manivela \(r\) al radio del torno \(R\). O sea la fuerza aplicada \(F\) tracción se multiplicará por \(R/r\) (siempre mayor de uno). Este factor es la ventaja mecánica. La tensión es la fuerza aplicada a subir el caldero y el agua.El momento aplicado por la cuerda al torno es:
\(M\ =\ Tensi\acute{o}n*r\)
Será igual al aplicado a la manivela \(M=F\), tracción·\(R\).
La ventaja mecánica será mayor cuanto mayor sea el radio de la manivela.
A continuación podrá encontrar un aplicativo referente al tema:
El documento puede encontrarlo en la dirección: http://newton.cnice.mec.es/newton2/Newton_pre/1bach/maquinastermicas/termo-maqsimple.htm?0&0
PREGUNTA: Subimos agua de un pozo de \(15\ m\) de altura con un cubo de masa \(3\ kg\) y capacidad \(15\ litros\) por medio de una polea. Cada dos metros de cuerda empleada tiene una masa de \(300\ g\). Utiliza \(g = 9.81 \ m/s^2\). Calcula el trabajo útil.