MATEMÁTICAS 10: 3 Lección: Ecuaciones trigonométricas.: Ecuaciones trigonométricas

3 Lección: Ecuaciones trigonométricas.

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Ecuaciones trigonométricas

DIFERENCIA DE CUADRADOS

Se aplica a los binomios de la forma $(f(x))^2-(g(x))^2$ , para f(x) y g(x) funciones trigonométricas, quedando factorizados así:

$(f(x))^2-(g(x))^2=(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))$

Ejemplo:

Factorizar el binomio: $3\, sen^2\, x-75\, sen^2\, y$

Solución:

Vemos que este binomio tiene como factor común al monomio $3$ , por lo que factorizando resulta:

$3\, sen^2\, x-75\, sen^2\, y=3(sen^2\, x-25\, sen^2\,y)$

El factor binomio se puede expresar como una diferencia de cuadrados:

$sen^2\, x-25\, sen^2\, y=(sen\, x-5\, sen\, y)(sen\, x+5\, sen\, y)$

Luego: $3\, sen^2\, x-75\, sen^2\, y=3(sen\, x-5\, sen\, y)(sen\, x+5\, sen\, y)$

FACTOR COMUN

Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de dos o mas polinomios.

Factor común de un monomio

Este caso consiste en identificar un factor que aparezca contenido en todos los términos del polinomios dado y aplicar la propiedad distributiva respecto a la adición .

Ejemplo:

Factorizar el polinomio $2\, sen^2\, x+14\, sen\, x\, sen\, y$

Solución:

Expresamos cada uno de sus términos en forma de producto

$2\, sen^2\, x+14\, sen\, x\, sen\, y=2*sen\, x*sen\, x+7*2sen\, x*sen\, y$

Vemos que el factor $2*sen\, x$ se repite en cada uno de los términos.

Aplicamos la propiedad distributiva respecto a la adición y resulta:

$2\, sen^2\, x+14\, sen\, x\, sen\, y=2\, sen\, x(sen\, x+7\, sen\, y)$

El término que se repite como factor en cada término se llama factor común del polinomio.

Factor común de un polinomio

Este caso consiste en identificar un factor común que este contenido en algunos de los términos del polinomio y otro que este contenido en los restantes. Así quedara un polinomio que será el factor común .

Ejemplo:

Factorizar el polinomio $sen(a)sen(b)+sen(a)sen(c)+sen(b)sen(x)+ sen(c)sen(x)$

Solución:

En este caso, separaremos el polinomio en dos partes iguales de igual cantidad de términos cada una y factorizaremos estas partesya que no tiene factor común para sus cuatro términos.

Así: $sen\, a\, sen\, b+sen\, a\, sen\, c+sen\, b\, sen\, x+sen\, c\, sen\, x$

$=(sen\, a\, sen\, b+sen\, a+sen\, c)+(sen\, b\, sen\, x+sen\, c\, sen\, x)$

$=sen\, a(sen\, b+sen\, c)+sen\, x(sen\, b+sen\, c)$

El polinomio ha quedado reducido a dos términos que son:

$sen\, a(sen\, b+sen\, c)$ y $sen\, x(sen\, b+sen\, c)$

En cada uno de ellos se observa el factor común $(sen\, b+sen\, c)$

$sen\, a(sen\, b+sen\, c)+sen\, x(sen\, b+sen\, c)=(sen\, b+sen\, c)(sen\, a+sen\, x)$

Luego: $sen\, a\, sen\, b+sen\, a\, sen\, c+sen\, b\, sen\, x+sen\, c\, sen\, x$

$=(sen\, b+sen\, c)(sen\, a+sen\, x)$

FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS

Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio es un cuadrado perfecto si se pueden identificar las siguientes características:

Dos de sus términos son cuadrados perfectos (Ubicarlos como primer y tercer término del trinomio)
El otro término es el dos veces la raiz cuadrada del primer término por la raiz cuadrada del segundo término.

Ejemplo:

Factorizar el trinomio $sen^2 x+14 sen x+49$

Solución:

Observamos que sus términos primero y tercero son cuadrados perfectos que se pueden expresar como las potencias: $sen^2 x=(sen x)^2$ y $49=7^2$

El segundo término se puede escribir como dos veces la raiz cuadrada del primero por la raiz cuadrada del segundo:

$=2*\sqrt{49}*\sqrt{sen^2 x)}$

$2*7*sen x=14sen x$

Luego: $sen^2 x+14 sen x+49=(sen x+7)^2$

Trinomio de la forma $[f(x)]^2 \pm b[f(x)] \pm c$

Para factorizar un trinomio de la forma $[f(x)]^2 \pm b[f(x)] \pm c$ debemos hallar dos números tales que su producto sea $\pm c$ y su suma sea $\pm b$ en donde f(x) es una función trigonométrica.

Ejemplo:

Factorizar el trinomio $sen^2 x-5 sen x-24$

Solución:

Hallamos los factores de $-24$ que sumados den $-5$ :

$1*(-24)=-24\,\, y\,\, 1 + (-24)=-23$

$2*(-12)=-24\,\, y\,\, 2+(-12)=-10$

$3*(-8)=-24\,\, y\,\, 3+(-8)=-5$

$4*(-6)=-24\,\, y\,\, 4+(-6)=-2$

Luego: $sen^2 x-5 sen x-24=(sen x+3)(sen x-8)$

Trinomio de la forma $a[f(x)]^2 + b[f(x)] + c$

Para factorizar trinomios de la forma $a[f(x)]^2 + b[f(x)] + c$ con f(x) una función trigonométrica, debemos hallar los factores de a y de c tales que al combinar sus productos den como resultado b. En la práctica, resulta más facil aplicar el procedimiento que se describe en el ejemplo.

Ejemplo:

Factorizar el trinomio $2 sen^2 x-13 sen x+15$

Solución:

Vemos que el primer término no es un cuadrado perfecto; pero si lo multiplicamos por $2$ , su producto $4 sen^2 x$ es el cuadrado perfecto de $2 sen x$ . Sin embargo, si queremos hacerlo, debemos amplificar correctamente el trinomio. Como necesitamos convertir $2 sen^2 x$ en un cuadrado perfecto, amplificamos por $2$ el trinomio completo, y al mismo tiempo lo dividimos por ese número. Es decir:

$(2 sen^2 x -13 sen x+15)*\frac{2}{2}$

$=\frac{4 sen^2-13(2 sen x)+30}{2}$

$=\frac{(2 sen x)^2-13(2 sen x)+30}{2}$

$=\frac{(2 sen x-10)(2 sen x-3)}{2}$

$=\frac{2(sen x-5)(2 sen x -3)}{2}$

Luego: $2 sen^2 x-13 sen x+15=(sen x-5)(2 sen x-3)$

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS

Para factorizar polinomios de la forma $[f(x)]^3 \pm [g(x)]^3$ con f(x) y g(x) funciones trigonométricas se procede mediante la formula:

$[f(x)]^3 \pm [g(x)]^3=(f(x) \pm g(x))([f(x)]^2 \mp f(x)g(x)+ [g(x)]^2)$ .

Ejemplo:

Factorizar el binomio $27 sen^3 x+125 sen^3 y$

Solución:

Vemos que cada uno de sus términos es un cubo perfecto.

$27 sen^3 x=(3 sen x)^3$ y $125 sen^3 y=(5 sen y)^3$

Así: $27 sen^3 x+125 sen^3 y=(3 sen x)^3+(5 sen y)^3$

Luego:

$27 sen^3 x+125 sen^3 y$

=(3 sen x+5 sen y )[(3 sen x)^2-<span class= $3 sen x)(5 sen y)+(5 sen y)^2$=27 sen^3 x+125 sen^3 y" alt="=(3 sen x+5 sen y )[(3 sen x)^2-$3 sen x)(5 sen y)+(5 sen y)^2$=27 sen^3 x+125 sen^3 y" src="http://bachilleratoenlinea.com/educar/filter/tex/pix.php/3bc1d56a19e32eb13f99604134687b5f.gif" />

$=(3 sen x+5 sen y)(9 sen^2 x-15 sen x\, sen y +25 sen^2 y)$

Algunos polinomios que pueden expresarse como diferencia de dos cuadrados son también de utilidad en la práctica:

Ejemplo:

Factorizar el polinomio $sen^2 x-2 sen x\, sen y+sen^2 y - sen^2 z$

Solución:

Observamos que el trinomio $sen^2 - sen x\, sen y+sen^2 y$ es el cuadrado perfecto de $(sen x-sen y)$

Por lo tanto:

$sen^2 x-2 sen x\, sen y+sen^2 y-sen^2 z$

$=(sen x-sen y)^2-sen^2 z$ que se transforma en una diferencia de cuadrados.

Luego:

$sen^2 x-2 sen x\, sen y+sen^2 y-sen^2 z$

$(sen x-sen y)-sen z$ $(sen x-sen y)+sen z$ " = $(sen x-sen y)-sen z$ $(sen x-sen y)+sen z$ "

$=(sen x-sen y-sen z)(sen x-sen y+sen z)$

FRACCIONES

Fracción trigonométrica es toda expresión p(x)/q(x) donde p(x) y q(x) son polinomios de funciones trigonométricas, con q(x) diferente de cero.

Una fracción trigonométrica se puede simplificar si su numerador y su denominador se pueden dividir entre un mismo termino.

Consideremos la fracción $\frac{p(x).q(x)}{r(x).q(x)}$ , en ella el polinomios q(x) es factor del numerador y del denominador luego es equivalente a $\frac{p(x)}{r(x)}$