MATEMÁTICAS 8 y 9

LA FAMILIA MULTIPLICATIVA EN LOS NÚMEROS REALES

La multiplicación en los números reales se define teniendo en cuenta que se mantengan las propiedades de la multiplicación en los racionales como hasta ahora, puesto que el conjunto de los números racionales es un subconjunto del conjunto de los números reales. Por tanto, se puede concluir:

La multiplicación en el conjunto de los números reales cumple las mismas propiedades que la multiplicación en el conjunto de los números racionales.

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN EN LOS NÚMEROS REALES \(\mathbb{R}\)

Clausurativa: El producto de dos números reales es un número real.

Si \(a\) y \(b\) son números reales, entonces \(a\time b\) es un número real.

Por ejemplo:

Asociativa: El producto de dos números reales no cambia si el orden en que se disponen los factores es diferente. El producto de tres o más números reales no cambia si los factores son agrupados de distintas maneras.
Si \(a,\, b\) y \(c\) son números reales, entonces \((a \time b) \time c = a \time (b \time c)\).

Por ejemplo:

Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto
Si \(a\) y \(b\) son números reales, entonces \(a \time b = b \time a\).

Por ejemplo:

Modulativa: El producto de un número cualquiera con la unidad \(1\) como resultado se obtendrá el mismo número.
Si \(a\) es un número real, existe \(1\), el módulo de la multiplicación, que también es real, tal que \(a \time 1 = a\) “y” \(1 \time a = a\).

Por ejemplo:

Invertiva:

Si \(a\) es un número real y \(a\neq 0\), existe un real no nulo (\(\frac{1}{a}\)), tal que \(a\time(\frac{1}{a})=1\).

Por ejemplo:

Hay una propiedad que relaciona la multiplicación con la adición de los números; es la propiedad siguiente:

Distributiva:

Para multiplicar un número real \(a\) por la adición de otros se multiplica el factor \(a\) por cada uno de los sumandos y luego se adicionan los productos. Este proceso se cumple tanto si está a la izquierda o a la derecha de la adición.

Si \(a,\, b\, y\, c\) son números reales, entonces \(a\time(b+c)=(a\time b)+(a\time c)\)

Si \(a,\, b\, y\, c\) son números reales, entonces \((b+c)\time a=(b\time a)+(c\time a)\)

Por ejemplo:

En los números reales, como en los racionales, la división de dos números \(a\) y \(b\), en donde \(b\neq 0\), significa realizar el producto \(a\time \frac{1}{b}\), es decir para dividir un número real \(a\) por \(b\) basta, multiplicar el primero de los reales por el inverso multiplicativo del segundo.

La propiedad invertiva en los números reales en la adición y en la multiplicación, da lugar al opuesto y al recíproco, respectivamente, del número real.

Ejemplo1: ¿Cuál es el opuesto y cuál es el reciproco de \(4+\sqrt{2}\) y \(\sqrt{3}-\sqrt{5}\)?

Los opuestos de \(4+\sqrt{2}\) “y” \(\sqrt{3}-\sqrt{5}\) son:

\(-(4+\sqrt{2})\) y” \(-(\sqrt{3}-\sqrt{5})\), respectivamente.

Al eliminar el paréntesis obtenemos: \(-4-\sqrt{2}\) “y” \(-\sqrt{3}+\sqrt{5}\)

Al multiplicar \((-1)\) y \((4+\sqrt{2})\)obtenemos el opuesto de
\((4+\sqrt{2})\, :\, (-1)(4+\sqrt{2})=[(-1)*4]+[(-1) \time \sqrt{2}]=-4+(-\sqrt{2})=-4-\sqrt{2}\).

El recíproco es el inverso multiplicativo, es decir, dos números son recíprocos cuando multiplicados dan la unidad (neutro del producto).

Los recíprocos son: \(\frac{1}{4+\sqrt{2}}\) “y” \(\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{5}\), respectivamente.

Ya que \(4+\sqrt{2} \time \frac{1}{4+\sqrt{2}}=1\) “y” \(\sqrt{3}-\sqrt{5}\time \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}=1\).

Cuando multiplicamos un número real \(a\) por un número natural\(n\), el producto es un número que obtenemos sumando el número\(a\), \(n\) veces. Por ejemplo. \(2\time \sqrt{3}\) es el número real que se escribe \(2\sqrt{3}\) y significa: \(\sqrt{3}+\sqrt{3}\), es decir, 2 veces \(\sqrt{3}\).

Ejemplo 2: Efectuemos, aplicando las propiedades de la multiplicación de números reales que sean necesarias, las siguientes operaciones:

a) \(2\sqrt{5}+3\sqrt{5}=(\sqrt{5}+\sqrt{5})+(\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{5})=5\sqrt{5}\)

b) \((-\sqrt{2})\time (4+1.34)=[(-\sqrt{2}\time 4]+[((-\sqrt{2}\time 1.34]=-4\sqrt{2}-1.34\sqrt{2}\)

c) \((3+\sqrt{2})\time (1+\sqrt{2})=\) Utilizamos la propiedad distributiva, como lo muestra la figura:

\(=(3\time 1+3\time \sqrt{2})+(\sqrt{2}\time 1+(\sqrt{2})^2\)

\(=(3+3\sqrt{2})+(\sqrt{2}+2)\)

\(=5+4\sqrt{2}\)

d) \((5.1+\sqrt{3})\time (5.1-\sqrt{3})=5.1*(5.1-\sqrt{3})+\sqrt{3}(5.1-\sqrt{3})\)

\(=(5.1)^2-5.1\sqrt{3}+5.1\sqrt{3}-(\sqrt{3})^2\)

\(=(5.1)^2-(\sqrt{3})^2=26.01-3=23.01\)

Así como la igualdad y el orden en los números reales se relacionan con la adición, también se relacionan con la multiplicación. Observemos:

Consideremos la igualdad: \((2-\sqrt{3})+1=3-\sqrt{3}\)

Y multipliquemos miembro a miembro por \(-5\sqrt{3}\).

En el lado izquierdo de la igualdad resulta:

\([(2-\sqrt{3})+1]\time (-5\sqrt{3})=15-15\sqrt{3}\)

Y en el lado derecho: \((3-\sqrt{3})\time (-5\sqrt{3})=15-15\sqrt{3}\)

Luego obtuvimos una igualdad.

Si multiplicamos miembro a miembro de una igualdad de números reales por un número real, el resultado es siempre una igualdad; esto equivale a decir que si los dos miembros de una igualdad se multiplican por un mismo número real, entonces la igualdad se conserva.

Consideremos ahora la desigualdad: \(5+1.3<7+\sqrt{2}\)

Multipliquemos miembro a miembro por \(\sqrt{2}\).

Obtenemos: \((5+1.3)\sqrt{2}=\) “Y” \( (7+\sqrt{2})\sqrt{2}=\)

\(5\sqrt{2}+1.3\sqrt{2}=\) “Y” \( 7\sqrt{2}+2=\)

\(7.071\cdots +1.83846\cdots=\) “Y” \( 9.8994+2\)

Esto es, \(8.90946\cdots 11.8994\)

Que es una desigualdad en el mismo sentido de la inicial.

Ahora tomemos la desigualdad \((5+1.3<7+\sqrt{2})\) y multipliquémosla, miembro a miembro, por \((-3)\).

En el miembro izquierdo obtenemos:

\((5+1.3)\time (-3)=(-15)+(-3.9)=-18.9\)

En el miembro derecho obtenemos:

\((7+\sqrt{2})*(-3)=(-21)+(-3)\time \sqrt{2}=(-21)+(-4.2426)=-25.2426\cdots\)

Observemos que el número que se obtuvo para el miembro izquierdo es mayor que aquel que resulta para el segundo, porque a esto debemos adicionarle el número real positivo \(6.3423\cdots\) para obtener el primero, es decir:

\(-25.2426+6.3426\cdots=-18.9\)

Luego, se tiene: \((5+13)\time (-3)>(7+\sqrt{2})\time (-3)\)

Este resultado se cumple para cualquier desigualdad; por eso podemos afirmar que el producto miembro a miembro de una desigualdad por números negativos, produce una desigualdad con sentido contrario a la inicial.

Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo número real, entonces:

· Si el número por el cual se multiplica es positivo, el sentido de la desigualdad se mantiene.

· Si el número por el cual se multiplica es negativo, el sentido de la desigualdad se invierte.

PREGUNTA: La respueta a las pregutas; ¿El producto de dos números reales negativos es menor que 0? y el recíproco de \(-(-\frac{3}{5})\) es: