3 Lección: Números críticos y monotonía de una función.

Intento: 28

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Los números críticos son aquellos valores que resultan de igualar la derivada de una función a cero . También se denominan raíces o ceros de la función derivada.

SI f esta definida en a, se dirá que a es un numero critico de f si f'(a)=0 o si f no esta definida en a.

Para una función cuadrática, es decir de la forma \Huge ax^2+bx+c, los números críticos se determinan aplicando la fórmula:

\Huge x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} en donde encontramos dos soluciones.

Ejemplo:

Encontrar los números críticos de la función: f(x)= 5x^2 + 4x

Precedimiento:

1. Calcular la derivada de la función.

2. Igualar la derivada a cero y despejar la x; utilizar la fórmula general si es necesario.

La derivada de la función es: f'(x) = 10x + 4

Igualamos a cero: f'(x) = 10x + 4=0

Despejamos la x:

10x + 4=0

x = -\frac{2}{5} éste es el número crítico.

Para calcular el punto se reemplaza el valor del número en la ecuación original:

f(x)= 5x^2 + 4x

f(-2/5)= 5(-\frac{2}{5})^2 + 4(-\frac{2}{5}) = y

y=-\frac{4}{5}

Punto crítico: \left(-\frac{2}{5},\frac{4}{5}\right)

DETERMINACION DE INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

Una función y=f(x) es monótona para x=a si es creciente o decreciente en el punto a, así:

y=f(x) es creciente si al crecer x también crece y.

    y=f(x) es decreciente si al crecer x también decrece y.

    PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR LOS INTERVALOS DE CRECIMIENTO O DECRECIMIENTO

    Para determinar los intervalos de crecimiento o decrecimiento de una función debemos realizar los siguientes pasos:

    1. Derivar la función.

    2. Obtener los números críticos o raíces de ésta función resultante. Recuerda que hallar las raíces consiste en determinar el valor de la variable x. Para ello hacemos f´(x)=0.

    3. Formamos intervalos abiertos con las raíces obtenidas.

    4. Tomamos un valor perteneciente a cada intervalo y remplazamos en la función derivada.

    5. Comparamos el signo del resultado y el criterio estará dado por:

    Si f´(x)>0 la función es creciente.

    Si f´(x)<0 la función es decreciente.

    6. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

    EJERCICIO PRÁCTICO:

    Determinar los intervalos de crecimiento o decrecimiento de la función:

    f(x)=x^3-3x+1

    1. Derivar la función:

    f´(x)=3x^2-3

    2. Obtener las raíces o ceros de la función haciendo f´(x)=0:

    3x^2-3=0

    Utilizando la fórmula para determinar los ceros de una función cuadrática, es decir de la forma ax^2+bx+c:

    x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

    3x^2-3=0 donde a=3 ; b=0 ; c=-3

    x=\frac{-0\pm \sqrt{0^2-4*3*(-3)}}{2*3}

    x_1=\frac{-0+\sqrt{0^2-4*3*(-3)}}{2*3}

    x_1=\frac{6}{6}

    x_1=1

    x_2=\frac{-0-\sqrt{0^2-4*3*(-3)}}{2*3}

    x_2=-\frac{6}{6}

    x_2=-1

    3. Tomamos intervalos abiertos con los ceros de la función derivada obtenidos en el paso anterior:

    (-\infty,-1) (-1,1) (1,\infty)

    4a. Tomamos un valor que pertenezca a cada intervalo:

    (-\infty,-1) Tomamos el -2 (puedes ser o cualquier valor que pertenezca a este intervalo)

    (-1,1) Tomamos el 0 (puedes ser o cualquier valor que pertenezca a este intervalo)

    (1,\infty) Tomamos el 2 (puedes ser o cualquier valor que pertenezca a este intervalo).

    4b. Remplazamos en la función derivada cada uno de los valores escogidos de cada intervalo:

    3x^2-3=0

    x=-2

    3(-2)^2-3=9 como f´(-2)>0 decimos que en este intervalo la función es creciente.

    x=0

    3(0)^2-3=-3 como f´(0)<0 decimos que en este intervalo la función es decreciente.

    x=2

    3(2)^2-3=9 como f´(2)>0 decimos que en este intervalo la función es creciente.

    5. Escribir los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

    (-\infty,-1) Crecimiento

    (-1,1) Decrecimiento

    (1,\infty) Crecimiento

    PREGUNTA: Los números críticos de la función \(f(x)=x^3+3x^2\) son: