2 Lección: Valor absoluto y plano cartesiano: Relaciones.

Intento: 13

Ha obtenido 10 punto(s) sobre 10 hasta ahora.

Cualquier número a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia del punto aal origen (0), sobre la recta.

Ejemplo 1:

Calculemos la distancia desde el origen hasta el punto 4 y al punto -4.

1.6

FIGURA 1. Ejemplo

En la recta l, de la figura, vemos que:

  • La distancia desde el origen hasta el punto 4 es 4 unidades, se representa \mid 4\mid=4.
  • La distancia desde el origen hasta el punto -4 es 4 unidades, se representa por \mid -4\mid y corresponde a 4 unidades, pero a la izquierda del origen. Puesto que las distancias son no negativas, decimos que \mid -4\mid=4.
Así podemos definir:

 

El valor absoluto de cualquier número real a que se denota \mid a\mid es: a si a es positivo, -a si a es negativo y 0 si a es cero. En forma simbólica lo escribimos:
\Huge \mid a\mid=\displaystyle{\left { {a\, si\, a\geq 0\atop -a\, si\, a<0.
Por tanto, para cualquier número real a, \mid a\mid\geq 0.

Esto significa que el número dentro del valor absoluto puede ser negativo, pero al desarrollar el valor absoluto SIEMPRE obtendremos un número positivo.
Ejemplo:
I5I = distancia del origen 0 a 5  = 5
I-5I= distancia del origen 0 a -5 = 5

 

Ejemplo 2: 
Hallemos \mid 32\mid\, y \,\mid -32\mid
Solución:
\mid 32\mid=32 porque 32>0.

 

\mid -32\mid=-(-32)=32 porque -32<0.
Ejemplo 3:

 

Hallemos \mid\frac{4}{2}\mid,\,\mid-\frac{7}{5}\mid\, y \,\mid -2\mid
Por definición de valor absoluto tenemos:
\mid\frac{4}{2}\mid=\frac{4}{2}

 

\mid-\frac{7}{5}\mid=-(-\frac{7}{5})=\frac{7}{5}

 

\mid-2\mid=2
El valor absoluto puede usarse para calcular la distancia entre dos puntos de una recta coordenada.
Si tenemos dos puntos cualesquiera a y b de una recta numérica, la distancia entre ambos es a-b si a>b y b-a si b>a, es decir, la distancia entre ellos es \mid a-b\mid.
Ejemplo 4:
Hallemos la distancia entre los puntos con coordenadas 3 y 8.
Solución:

De acuerdo con la definición, tenemos: d(3,8)=\mid 3-8\mid=\mid -5\mid=5. Veamos su representación gráfica en la siguiente figura:

1.7

 FIGURA 2. Ejemplo

De la misma manera si quisiéramos encontrar la distancia entre los puntos con coordenadas 8 y 3, tendríamos: d(8,3)=\mid 8-3\mid=\mid 5\mid=5, tal como lo observamos en la figura.

 

1.8
FIGURA 3. Ejemplo
PROPIEDADES DE VALOR ABSOLUTO

 El valor absoluto cumple las siguientes propiedades:

Si a y b son números reales tenemos:
1. \Huge \mid a*b\mid=\mid a\mid *\mid b\mid
2. \Huge \mid a^n\mid=\mid a\mid^n\, con\ n\in N
3. \Huge \mid\frac{a}{b}\mid=\frac{\mid a\mid}{\mid b\mid}\ con\, b\neq 0
4. \Huge \mid a \mid=\mid -a\mid
5. \Huge \mid a^{-k}\mid=\mid a \mid^{-k}\, con\, a\neq 0,\, k\in z

 

Ejemplo 5:
Utilicemos estas propiedades para calcular el valor absoluto de los números reales:
a) -35; b) \frac{50}{2}; c) \frac{-1}{7}; d) -\sqrt{5}; e) \mid\frac{1}{3^{-2}}\mid
Solución:
a) El valor absoluto de -35 pude escribirse así: \mid -35\mid=\mid -5*7\mid=\mid -5\mid *\mid 7\mid=5*7=35
b) El valor absoluto de \frac{50}{2} es: \mid\frac{50}{2}\mid=\frac{\mid 50\mid}{\mid 2\mid}=\frac{50}{2}=25
c) El valor absoluto de -\frac{1}{7} es igual a: \mid\frac{-1}{7}\mid=\frac{\mid -1\mid}{\mid 7\mid}=\frac{1}{7}
d) El valor absoluto de -\sqrt{5} podemos escribirlo como: \mid -\sqrt{5}\mid=\sqrt{5}
e) El valor absoluto de \frac{1}{3^{-2} es: \mid\frac{1}{3^{-2}}\mid=\frac{\mid 1\mid}{\mid 3^{-2}\mid}=\frac{1}{3^{-2}}=3^2=9
PREGUNTA: Cuál es el resultado de \(|x+4|<2\)