MATEMÁTICAS 10: 4 Lección: La hipérbola.: La hipérbola

4 Lección: La hipérbola.

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La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamadas focos, es constante.

En una hipérbola se reconocen los siguientes elementos:

hip6.1

FIGURA 1. Elementos de una hiperbola

Focos: Puntos fijos F y F' mencionados en la definición
Centro: es el punto medio de la distancia entre los focos F y F'
Vértices: Son las intersecciones A y A' de la curva con la recta que contiene a los focos. La distancia del centro a un vértice de llama a.
Eje focal o eje mayor: es la recta que contiene a los focos y a los vértices
Eje menor o eje conjugado: es la perpendicular al eje focal que pasa por el centro.
Asintotas: son las diagonales del rectángulo que se traza para construir la hipérbola.
Ramas: son las dos partes de la curva que constituyen la hipérbola

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA CON CENTRO EN (0,0)

La ecuación canónica de la hipérbola con eje focal sobre el eje x y eje conjugado sobre el eje y es de la forma

$\Large\bf\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Para obtener la expresión analítica de una hipérbola tomamos los ejes x y como ejes de la hipérbola.

Si los puntos F: (c,0) y F´: (-c,0) son los focos de la hipérbola, un punto P: (x,y) será punto de la hipérbola si $\overline{PF}- \overline{PF'}=\pm 2a$ , es decir si:

$\sqrt{(x-c)^2+y^2} - \sqrt{(x+c)^2+y^2} =\pm 2a$ .

Para simplificar esta ecuación, se empieza por expresarla en la forma

$\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\pm 2a+\sqrt{(x-c)^2+y^2}$ .

Elevamos al cuadrado y se obtiene:

$x^2+2cx+c^2+y^2=4 a ^2 +x^2 -2cx+c^2+y^2 \pm 4 a \sqrt{(x-c)^2 + y^2}$

Esto es

$a^2 -cx =\pm a \sqrt{(x-c)^2 + y^2}$

Si, nuevamente elevamos al cuadrado resulta:

$a^4-2a^2cx+c^2x^2= a^2x^2 - 2a^2cx+ a^2c^2+a^2y^2$

Es decir $x^2(c^2-a^2)-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)$

Teniendo en cuenta que $c^2-a^2=b^2$ , dividimos por $a^2b^2$ y resulta

$\Large\bf\frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1$

A continuación se explican dos posibilidades que toma la hipérbola, según sus ramas abarquen al eje x o al eje y, análogamente a lo expuesto para los lugares geométricos estudiados:

Cuando abarca al eje x. Hipérbola con C: (0,0). Eje mayor sobre el eje x. Focos $(\pm c,0)$ . vértices $(\pm a,0)$

hip6.2

FIGURA 2. Posibilidades de la hipérbola

Cuando abarca al eje y. Hipérbola con C: (0,0). Eje mayor sobre el eje y. Focos $(0, \pm c)$ . vértices $(0, \pm b)$

hip6.3

FIGURA 3. Posibilidades de la hipérbola

La ecuación canónica de una hipérbola con eje focal sobre una paralela al eje $x$ y su centro en un punto (h,k) es

$\Large\bf\frac{ (x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} =1$

Ahora consideremos la hipérbola con el centro en el punto (h,k) con el eje focal paralelo al eje x.

hip6.4

FIGURA 4. Elementos de la hipérbola

Los elementos de la hipérbola son:

Centro: C: (h,k), Foco $F_2: (h-c,k)$ y Foco $F_1: (h+c,k)$

Punto de la hipérbola: P: (x,y)

vértices del eje mayor: $V_2: (h-a,k)$ y $V_1: (h+a,k)$

vértices del eje menor: $V_4: (h,k-b)$ y $V_3: (h,k+b)$

Por definición de lugar geométrico de una hipérbola tenemos que:

$d=(\overline{F_1P})- d(\overline{F_2P})=2a$ . Es decir:

$\sqrt{(x-h+c)^2+(y-k)^2}-\sqrt{(x-h-c)^2+(y-k)^2}=2a$

Luego de trasponer el segundo radical a la derecha, elevar ambos miembros al cuadrado, reducir términos semejantes, nuevamente elevar al cuadrado, simplificar términos para así factorizar, obtenemos:

$(c^2-a^2)(x-h)^2 - a^2(y-k)^2 =a^2(c^2-a^2)$

Teniendo en cuenta que $c^2-a^2=b^2$ y dividiendo por $a^2b^2$ resulta la ecuación:

$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} =1$

Con un desarrollo similar podemos obtener la ecuación de una hipérbola cuyo centro es el punto (h,k) con el eje focal paralelo al eje y.

De esa forma, obtendremos la ecuación:

$\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} =1$

Las rectas $y-k= \pm \frac{b}{a}(x-h)$ son las asintotas de la hipérbola y constituyen una guía para su grafica.

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FIGURA 5. Hipérbola

ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPÉRBOLA

$Ax^2+By^2+Cx+Dy+F=0$

para A,B,C,D,E en $\mathbb{R}$ , con A y B de diferente signo.

Consideramos el desarrrollo de la ecuación de una hipérbola trasladada al centro $(h,k)$ con el eje mayor sobre una paralela al eje $x$ , así:

$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

$b^2x^2-2b^2xh+b^2h^2- a^2y^2+ 2a^2yk-a^2k^2-a^2b^2=0$

$b^2x^2- a^2y^2-2b^2xh+ 2a^2yk +b^2h^2-a^2k^2-a^2b^2=0$

Si denotamos por $b^2=A,- a^2=B,-2b^2h=C,2a^2k=D, b^2h^2-a^2k^2- a^2b^2=F$ , tendremos la ecuación:

$Ax^2+By^2+Cx+Dy+F=0$

haciendo énfasis en que $A$ y $B$ tienen diferente signo.

Ejemplo:

Determinar las coordenadas del centro y los focos de la hipérbola cuya ecuación general es $4x^2-25y^2-16x-250y-709=0$ .

Solución:

Organizamos la ecuación para completar cuadrados y darle la forma canónica:

$(4x^2-16x)-(25y^2+250y)=709$

$4(x^2-4x+4)-25(y^2+10y+25)=709+16-625$

$4(x-2)^2-25(y+5)^2=100$

$\frac{(x-2)^2}{25}-\frac{(y+5)^2}{4}=1$

Por tanto, podemos identificar el centro C: ( 2 , -5), $a = 5$ y $b = 2$ .

Se sabe que $c^2=a^2+b^2$ y así $c=\pm\sqrt{29}$

En consecuencia, el eje mayor esta sobre la recta $y=-5$ , paralela al eje $x$ ; así los focos son $(2\pm c,-5)$ , los vértices son $(2\pm a,-5)$ .

Luego: el centro es C: ( 2 , -5), los vértices son: $V_1: ( 7,-5)\, y\, V_2 ( -3,-5)$ y los focos son $F_1: ( 2+\sqrt{29},-5)\, y\, V_2 ( 2-\sqrt{29},-5)$

Notese que $y=\pm\frac{2}{5}x$ son dos rectas que "encierran" las ramas de la curva, es decir, las asíntotas. Además la excentricidad de la hipérbola es:

$e=\frac{\sqrt{29}}{5}\approx 1.077$

Excentricidad: (e) es la razón entre las distancias del origen a un foco y del origen a su correspondiente vértice. Se define $e=\frac{c}{a}$

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FIGURA 6. Hipérbola

PREGUNTA: ¿Las ramas de la hipérbola se tocan en algún punto con las asintotas?