1 Lección: La línea recta y nociones de sección cónica.

Intento: 9

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DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO

Anteriormente se definió la distancia entre dos puntos de la recta real. Según el teorema de Pitágoras, en todo triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos; es decir

\Large\bf c^2=a^2 + b^2

Queremos hallar la distancia d entre los puntos \Large (x_1,y_1) y \Large(x_2,y_2) del plano:

 

preguntas

FIGURA 1. Distancia entre dos puntos

Los puntos (x_1,y_1) \,(x_2,y_1) y (x_2,y_2) determinan un triangulo rectángulo en el cual las longitudes de sus catetos están dadas por: d_1=x_2-x_1, d_2=y_2-y_1. Así aplicando el teorema de Pitágoras se tiene:

\Large d^2=d_1^2+d_2^2

\Large d^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2

De ahí que: 

preguntas

Si bien se consideraron para la grafica dos parejas ordenadas del primer cuadrante, la formula se mantiene para puntos sobre cualquier cuadrante.

PUNTO MEDIO

La fórmula del punto medio M de un segmento recto en el plano, es análoga a la fórmula obtenida para el punto medio de un intervalo (a,b).  De esta manera si (x_1 , y_1)  es un  punto del plano y (x_2 , y_2) es otro punto en el  plano, el punto medio entre estos dos puntos esta dado por:

punto medio

Verifiquemos que si d_1=d_2 y d_1+d_2=d_3, entonces M es punto medio.

Por una parte d_1=\sqrt{(\frac{x_1+x_2}{2}-x_1)^2+(\frac{y_1+y_2}{2}-y_1)^2}

También, d_1=\frac{1}{2}\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

Por otro lado, d_2=\sqrt{(x_2-\frac{x_1+x_2}{2})^2+(y_2-\frac{y_1+y_2}{2})^2}

También, d_2=\frac{1}{2}\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

d_1+d_2=\frac{1}{2}\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}+\frac{1}{2}\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

d_1+d_2=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=d_3

PENDIENTE DE UNA RECTA

Es el cociente entre las unidades de cambio vertical y las unidades de cambio horizontal de dos puntos cualquiera.

Un cambio \Delta y=y_2-y_1 unidades en un sentido vertical corresponde a un cambio de \Delta x=x_2-x_1, unidades en sentido horizontal.

La pendiente m de una recta que pasa por los puntos(x_1,y_1)y(x_2,y_2)es:

pendiente

x_2 \neq x_1

La inclinación de la recta depende de su pendiente así:

pendiente

FIGURA 2. Pendiente

ECUACIÓN PENDIENTE-INTERCEPTO

La ecuación pendiente- intercepto es de la forma  con pendiente m e intersección con el eje y en el punto (0,b)

Para representar gráficamente una ecuación de la forma , localizamos el valor b sobre el eje y. A partir de ese punto, se desplaza tantas unidades hacia arriba (si es positivo) o abajo (si es negativo) como indique el numerador de m y luego tantas unidades hacia la derecha, como indique el denominador.

ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE

La ecuación punto pendiente es de la forma  con pendiente m y pasa por el punto (x1,y1).

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la recta con la pendiente m = 5 y que pasa por el punto (1,-1)

Solución:

Reemplazamos en la ecuación:

y-(-1)=5(x-1)

y+1=5x-5

Luego: La ecuación es y=5x-6

PREGUNTA: La ecuación de la recta que pasa por los puntos (3,1) y cuya pendiente es 5 es: