MATEMÁTICAS 10: 2 Lección: Razones trigonométricas de los ángulos asociados a 45 °.: Razones trigonométricas de los ángulos asociados a 45 °

2 Lección: Razones trigonométricas de los ángulos asociados a 45 °.

Intento: 8

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Para cada ángulo $\theta$ del primer cuadrante, hay tres ángulos que llamaremos asociados a $\theta$ , que tienen sus razones trigonométricas iguales en valor absoluto. Estos ángulo se determinan sobre la circunferencia y del origen.

Los ángulos asociados a $\theta$ son:

$\theta$ en radianes: $\pi-\theta,\,\pi+\theta,\, 2\pi-\theta$
$\theta$ en grados: $180-\theta,\, 180+\theta,\, 360-\theta$

Los ángulos asociados a 45º son 135º, 225º y 315º

para $\theta=45^{\circ}$ el triangulo OPQ es rectángulo e isósceles, pues sus ángulos O y P son de 45º, luego sus catetos son iguales. Estos catetos OQ=x y PQ=x coinciden con el valor de seno y el coseno del ángulo de 45º.

Consideremos la circunferencia de radio 1.

FIGURA 1. Esquema triangular para valores de ángulos.

Aplicando el teorema de Pitágoras a dicho ángulo triangulo se tiene:

$1=x^2+x^2 \Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}}{2}$

Por tanto las razones de 45º y sus ángulos asociados son los que se indican en la siguiente tabla:

$\theta$	sen( $\theta$ )	cos( $\theta$ )	tan( $\theta$ )	ctg( $\theta$ )	sec( $\theta$ )	csc( $\theta$ )
45º	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	1	1	$\frac{2}{\sqrt{2}}$	$\frac{2}{\sqrt{2}}$
135º	- $\frac{\sqrt{2}}{2}$	- $\frac{\sqrt{2}}{2}$	1	1	- $\frac{2}{\sqrt{2}}$	- $\frac{2}{\sqrt{2}}$
225º	- $\frac{\sqrt{2}}{2}$	- $\frac{\sqrt{2}}{2}$	1	1	- $\sqrt{2}$	- $\sqrt{2}$
315º	- $\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	-1	-1	$\sqrt{2}$	- $\sqrt{2}$

TABLA 1. Razones trigonométricas de los ángulos asociados a 45°

PREGUNTA: Al operar ctg (315°)+ cos (45°) - csc (225°) da como resultado:

-1,41

1,41

-1