MATEMÁTICAS 10

Utilizando las relaciones existentes entre las razones trigonométricas de un ángulos del primer cuadrante y las de sus ángulos asociados, es posible encontrar las razones de un ángulo cualquiera en función de las razones de un ángulo del primer cuadrante. Se presentan los siguientes casos:

• Primer caso: . El ángulo es del primer cuadrante y sus razones se hallan directamente con la calculadora

•  

  Segundo caso: . El ángulo es del segundo cuadrante. En este caso, recurriendo al ángulo  que es un ángulo del primer cuadrante resulta:

Las razones de los ángulos resultantes se deducen de estas dos:

• Tercer caso: . El ángulo es del tercer cuadrante. En esta caso recurriendo al ángulo -180º, que es un ángulo del primer cuadrante , se tiene:

El anterior resultado expresa que:

Dos ángulos que difieren en 180º tienen iguales las tangentes y las cotangentes y opuestas las demás razones.

• Cuarto caso: . El ángulo es del cuarto cuadrante. En esta caso recurriendo al ángulo 360º-, que es un ángulo del primer cuadrante , se tiene:

Los ángulos  y  se dicen opuestos. El anterior resultado expresa que:

Dos ángulos opuestos tienen iguales las cosenos y las secantes y opuestas las demás razones.

•  

  Quinto caso: . ángulos mayores que una circunferencia. si dividimos  entre , obtendremos  ( cociente entero,  resto) Sé dira que  es el resulyado de sumarle a  un número exacto  de vueltas completas.
  
  Se conviene en tomar:  donde  se calculan con base en los cuatro casos anteriores pues , acordando que  tiene el mismo punto asociado a . 
  
  
• Sexto Caso: . Ángulos negativos presentan dos posibilidades:
  
  a)  Las razones trigonométricas son las mismas que las del ángulo  o . Que está entre 
  
  b) . Se divide  entre  para eliminar las vueltas completas; el resto  será un ángulo del caso a). se conviene que las razones trigonométricas de  son iguales a las de .

Antes de analizar las situaciones que se pueden resolver son las funciones trigonométricas, es importante reconocer la diferencia entre un ángulo de elevación y un ángulo de depresión.

El ángulo de elevación de un punto A, desde el punto O del observados, es el ángulo medido desde la horizontal que contiene a O hacia arriba, hasta la línea OB de la visual.

FIGURA 1. EJEMPLO

El ángulo de depresión de un punto A', desde el punto O del observados, es el ángulo medido desde la horizontal que contiene a O hacia arriba, hasta la línea OB' de la visual.

FIGURA 2. EJEMPLO

Ejemplo:

Desde lo alto de un faro, cuya altura sobre el nivel del mar es de 120
metros, el ángulo de depresión de una embarcación es de 15°. ¿A qué distancia del faro está la embarcación ?

Solución: Lo primero que tenemos que hacer es dibujar el triángulo que se forma con los datos del problema.

FIGURA 3. EJEMPLO

Aunque el problema viene con un ángulo de depresión de 15°, por la nota anterior el ángulo de elevación mide lo mismo. A partir de aquí hacemos uso de la relación tangente:

x = -447,93

PREGUNTA: El ángulo de 243° se encuentra en el cuadrante: