FUNCIÓN, PROPIEDADES Y NOTACIÓN
Que es una función?
Frecuentemente, nos encontramos en la vida diaria con la noción de correspondencia.
Por ejemplo, a cada libro le corresponde un cierto número de páginas. A cada persona le corresponde una fecha de cumpleaños. Si se mide la temperatura ambiental durante un día, entonces a cada instante le corresponde una temperatura. En los ejemplos de correspondencia que hemos citado, hay dos conjuntos: D y E. En el primero de los ejemplos, D denota el conjunto de libros y E representa el número de enteros positivos, a cada libro x en D le corresponde un entero positivo y en E que es el número de paginas.
La correspondencia se representa mediante diagramas como la figura anterior en donde D y E se representan por medio de puntos dentro de las regiones de un plano. La flecha indica que el elemento x de D le corresponde el elemento y de E. Hemos considerado diferentes a los conjuntos X y Y. Sin embargo los dos conjuntos pueden tener elementos en común, y más aún, es factible que D=E.
Los ejemplos mencionados indican que a cada elemento en D le corresponde uno y solo uno en E; es decir para una x dada, y es única. Sin embargo, diferentes elementos de D pueden estar asociados a un mismo elemento de E. Por ejemplo, dos libros pueden tener el mismo número de páginas o dos personas, idéntica fecha de cumpleaños.
En este caso D y E serán conjuntos numéricos en la mayoría de los casos. Como ejemplo supongamos que D y E son el conjunto de los números reales \( \mathbb{R} \) y que a cada numero real \(x\) le corresponde su cuadrado \(x^{2}\).
Es decir:
Si tomamos valores como \(3\),\(-5\) y \(2\) se le asocian a los números \(9\), \(25\) y \(4\).
\(f(x)=x^{2}\).
\(f(3)=9;f(-5)=25;f(2)=4;\)
Esto determina una correspondencia de \(\mathbb {R}\) a \(\mathbb {R}\).
Cada uno de los ejemplos de correspondencia que hemos visto es una función, la cual se define de la siguiente manera:
DEFINICIÓN:
Una función f de un conjunto D a un conjunto E es una correspondencia que asigna a cada elemento \(x\) de D un único elemento \(y\) de E.
El elemento y de E se llama valor en \(x\) y se denota por \(f(x)\) (que se lee “ \(f\) de \(x\)”).(También se recibe nombre de imagen de \(x\) bajo \(f\)).El conjunto D se denomina Dominio de la función. El contradominio de f consiste en todos los valores posibles de \(f(x)\), en donde \(x\) esta en D.( Se le llama también ámbito de la función).
Ahora es posible trazar el diagrama
Las flechas indican que los elementos \(f(x)\), \(f(w)\), \(f(z)\) y \(f(a)\) de E están asociados a los elementos \(x\), \(w\), \(z\) y \(a\) de D, respectivamente. Es
importante recordar que a cada \(x\) en D se le asocia un valor único \(f(x)\) en E; sin embargo elementos diferentes de D, como como \(w\) y \(z\) de la imagen pueden tener el
mismo valor en E.
PREGUNTA: si \(f(x)=2x^{2}-3x+4\), ¿cuál es el valor hallado al ser evaluada en \(f(-2)\)?