MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Recordemos:
Una multiplicación es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto.
El multiplicando y multiplicador son llamados factores del producto.
- El orden de los factores no altera el producto. Esta propiedad, demostrada en aritmética, se cumple tambien en algebra. Así, el producto \(ab\) puede escribirse \(ba\)
Esta es la Ley Conmutativa de la multiplicación.
- Los factores de un producto puede agruparse de cualquier modo. Así en el producto \(abcd\) tenemos:
\(abcd=a*(bcd)=(ab)*(cd)=(abc)*d\)
Esta es la Ley Asociativa de la multiplicación.
- Ley de los signos:
1.\((+a)(+b)=+ab\)
2.\((-a)(+b)=-ab\)
3.\((a)(-b)=-ab\)
4.\((-a)(-b)=+ab\)
- Ley de los exponentes:
Para multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma base y se le pone por exponente la suma de loS exponentes de los factores. Así:
\(a^{4}*a^{3}*a^{2}=a^{4+3+2}=a^{9}\)
- Ley de los coeficientes:
El coeficiente del producto de dos factores es el producto de los coeficientes de los factores.Así:
\(3a*4b=12ab\)
CASOS DE LA MULTIPLICACIÓN
Se presentarán tres casos: 1) Multiplicación de monomios 2) Multiplicación de un polinomio por un monomio 3) Multiplicación de polinomios.
1. Multiplicacion de monomios.
Se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada eltra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores. El signo del producto vendrá dado la por la ley de los signos.
EJEMPLOS:
1. Multiplicar \(2a^{2}*3a^{3}\)
\(2a^{2}*3a^{3}=2*3a^{2+3}=6a^{5}\) el signo del producto es \(+\) por que \(+\) * \(+\) da \(+\).
2. Multiplicar \(3a^{2}b\) por \(-4b^{2}x\)
\(3a^{2}*(-4b^{2}x)=-3*4a^{2}b^{1+2}x=-12a^{2}b^{3}x\) El signo del producto es \(-\) por que \(+\) por \(-\) da \(-\).
2) Multiplicación de un polinomio por un monomio.
Sea el producto \((a+b)c\).
Multiplicar \((a+b)\) por \(c\) equivale a tomar la suma \(a+b\) como sumando \(c\) veces; Luego:
\((a+b)c=(a+b)+(a+b)+(a+b)...\) \(c\) veces
\(=(a+a+a...\,c\,veces)+(b+b+b...\,c\,veces)\)
\(=ac+bc\)
Sea el producto \((a-b)c\).
Tendremos: \((a-b)c=(a-b)+(a-b)+(a-b)...\,c\,veces\)
\((a+a+a...\,c\,veces)-(b+b+b...\,c\,veces)\)
\(=ac-bc\)
Regla para multiplicar un polinomio por un polinomio:
Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de lso signos, y se separan los productos parciales con sus propios signos.
Esta es la Ley Distributiva de la multiplicación.
EJEMPLO:
1. Multiplicar \(3x^{2}-6x+7\) por \(4ax^{2}\).
Tendremos: \([3x^{2}-6x+7]*4ax^{2}=3x^{2}*(4ax^{2})-6x*(4ax^{2})+7*(4ax^{2})\)
\(12ax^{4}-24ax^{3}+28ax^{2}\).
2. Multiplicar \(a^{3}x-4a^{2}x^{2}+5ax^{3}-x^{4}\) por \(-2a^{2}x\)
\(a^{3}x(-2a^{2}x)-4a^{2}x^{2}(-2a^{2}x)+5ax^{3}(-2a^{2}x)-x^{4}(-2a^{2}x)=-2a^{5}x^{2}+8a^{4}x^{3}-10a^{3}x^{4}+2a^{2}x^{5}\).
3) Multiplicación de polinomios.
Regla para multiplicar dos polinomios.
Se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la Ley de los Signos, y se reducen los términos semejantes.
1. Multiplicar \(a-4\) por \(a-3\)
\((a-4)*(a-3)=(a*a)-(3*a)-(4*a)-(4*-3)\)
\(=a^{2}-3a-4a+12\)
\(=a^{2}-7a+12\)
2. Multiplicar \(4x-3y\) por \(-2y+5x\).
\((4x-3y)*(-2y+5x)=(4x*-2y)+(4x*5x)-(3y*-2y)-(3y*5x)\)
\(20x^{2}-23xy+6y^{2}\)
PREGUNTA: ¿Cuál es el resultado de multiplicar \(a+3\) por \(a-1\)?