MATEMÁTICAS 8 y 9

Localizaremos en la recta numérica, puntos correspondientes a raices cuadradas de números naturales

la extracción de la raíz cuadrada puede dar lugar a números irracionales cuando los números a los que se les extrae la raiz no son cuadrados perfectos,.

Para recordar: los números naturales como 1,4,9,16,25, son cuadrados perfectos ya que

1² = 1

2² = 4

3² = 9 y así sucesivamente.

con base en lo anterior y según las lecciones vistas, podemos afirmar que la extracción de la raíz cuadrada puede dar lugar a números irracionales cuando los números a los que se les extrae la raíz no son cuadrados perfectos.

donde n es un número natural que no es cuadrado perfecto son números irracionales

Otros números irracionales son aquellas raíces cúbicas de un númeo natural n que no es un cubo perfecto \(\sqrt[3]{2};\,\sqrt[3]{3};\,\sqrt[3]{4};\,\sqrt[3]{5};\ldots;\,\sqrt[3]{n}\), donde n es un número natural que no es cubo perfecto, son números irracionales.

En términos generales, si \(a\) es un número natural que no es la enésima potencia de otro número natural , entonces \(\sqrt[n]{a}\) es un número irracional.

Por ejemplo: \(\sqrt[5]{2};\,\sqrt[6]{12};\,\sqrt[7]{25}\), son números irracionales.


Además, los opuestos a los números irracionales positivos también son números irracionales, como por ejemplo: \(-\sqrt{2};\, -\sqrt{5};\, -\sqrt[3]{6};\,\sqrt[3]{10}\).

Al igual que los números racionales, a los números irracionales les corresponde un punto en la recta númerica. La manera más usual de ubicarlos es mediante construcciones geométricas.

Veamos como se puede representar \(\sqrt{2}\)


Hay que tener claro que \(\sqrt{2}=1.414213562\)..., es decir, \(1<\sqrt{2}<2\)


Observa el cuadrado del dibujo, si ampliamos el teorema de Pitágoras para hallar su diagonal comprendemos esto:

teorema de Pitágoras:


    \(x^2=1^2+1^2=2\atop\LARGE x=\sqrt{2}\)

    Entonces: \(1<\sqrt{2}<2\)

Con la ayuda de un compás podemos representar exactamente \(\sqrt{2}\) en la recta numérica. Sabemos que \(\sqrt{2}\) es un número irracional, por lo tanto, el punto P de la recta no puede estar ocupado por ningún otro número irracional.

En el siguiente video se muestra la representación gráfica de \(\sqrt{2}\) en la recta numérica:

REGUNTA: ¿Cual es la longitud de la diagonal?