ECUACIONES Y RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
En matemáticas es frecuente encontrar expresiones como: \(18+2=15+5\); \(x+8=-7\); \(2\cdot x=-9\). Esta clase de expresiones reciben el nombre de igualdad.
Toda igualdad consta de dos miembros:
Veamos lo que sucede con una igualdad cuando adicionamos o sustraemos el mismo número racional en ambos miembros de ella.
ñ Adicionamos 6: 18 + 5 + 6 = 15 + 8 + 6
29 = 29
ñ Sustraemos 3: 18 + 5 – 3 = 15 + 8 - 3
20 = 20
Si desarrollamos las operaciones de multiplicación y división en ambos miembros sucederá lo mismo.
Si en ambos miembros de una igualdad adicionamos, sustraemos o multiplicamos por el mismo número, la igualdad se conserva. Lo mismo sucede si dividimos ambos miembros por un mismo número diferente de cero.
Esta propiedad que se aplica a las igualdades recibe el nombre de propiedad uniforme de la adición, sustracción, multiplicación y división.
Si en una igualdad se encuentra un término desconocido, la igualdad se llama ecuación.
Son ejemplos de ecuaciones: \(a+6=-12\)
\(2x+10=12\)
Plantear ecuaciones es una estrategia que se usa para la solución de problemas.
Ejemplo 1: El perímetro de un triángulo isósceles es de 45 m. Los lados congruentes miden 20 m cada uno. ¿Cuál es la longitud del tercer lado?
Podemos modelar el problemas con la ecuación:
\(20 + 20+ X = 45\)
Ejemplo 2: Cinco veces un número es 2645. ¿Cuál es el número?
\( 5 \cdot a=2645\)
Una forma de solucionar ecuaciones es aplicar las propiedades de las operaciones estudiadas anteriormente, junto con las propiedad uniforme.
Ejemplo 3: Solucionemos la ecuación \( a+6=-12\).
ñ Apliquemos la propiedad uniforme sumando el opuesto de 6.
ñ Asociamos: \( a + [3+(-3)] = -12 + (-6)\)
ñ Utilizamos la propiedad del opuesto aditivo.
\(a+0=-12+(-6)\)
ñ Continuamos con la propiedad modulativa de la adición.
\(a=-12+(-6)\)
ñ Por último hallamos la suma.
\(a=-18\)
Comprobemos que ese valor de a hace verdadera la ecuación:
\(-18+6=-12\).
Ejemplo 4: Solucionemos la ecuación \(2x+10=12\).
ñ Sumamos el opuesto de 10. \(2x+10+(-10)=12+(-10)\)
ñ Efectuando las operaciones tenemos: \(2x+0=2\)
ñ Aplicando la propiedad modulativa de la adición \(2x=2\)
Para encontrar el valor de la variable X multiplicamos, en este caso, por el recíproco de 2, o sea \(\frac{1}{2}\).
\(\left(\frac{1}{2}\right) \cdot 2x = \left(\frac{1}{2}\right) \cdot 2\)
Efectuando las operaciones obtenemos:
\(x=1\).
EL PLANO CARTESIANO
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis \((x)\), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, \((y)\); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las "\(X\)" y uno de las "\(Y\)", respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:
\(P (x, y)\)
En el video que se muestra a continuación aparece una explicación del plano cartesiano.
PREGUNTA: Al resolver la ecuación \(b-4=\frac{3}{7}\), el resultado es: