ANÁLISIS DE LAS ECUACIONES DE CONTINUIDAD Y BERNOULLI
En hidrodinámica tenemos dos ecuaciones fundamentales para resolver los ejercicios: El teorema de Bernoulli y la ecuación de continuidad.
\(Q\ =\ S*v\ =\ constante\) Ya que el caudal de entrada es el mismo que el caudal de salida.
\(P+\frac{1}{2}\ \rho v^2\ +\ \rho gh\ =\ constante\) Por que se cumple que éste valor de la igualdad debe ser igual en ambos miembros.
CONCEPTO UNO: A MAYOR SECCIÓN, MENOR VELOCIDAD
De la ecuación de continuidad se puede hacer una deducción importante: Si el valor \(Q=\ S*v\) siempre se tiene que mantener constante, entonces donde el tubo sea más angosto LA VELOCIDAD SERÁ MAYOR.
Esto pasa porque el caudal que circula es constante. Entonces si el tubo se hace más angosto, para que pueda circular el mismo caudal, la velocidad de líquido tiene que aumentar.
Exactamente lo contrario pasa si el caño se hace más ancho,la velocidad del líquido tiene que disminuir para que pueda seguir pasando el mismo caudal.
CONCEPTO DOS: A MAYOR VELOCIDAD, MENOR PRESIÓN
Algo importante que se puede deducir de la ecuación de Bernoulli es que en el lugar donde la velocidad del líquido que circula sea mayor, la presión será menor.
Aclaración importante: Esto pasa solo si el tubo es horizontal.
\(P_e+\frac{1}{2}\rho v_e^2\ =\ P_s+\frac{1}{2}\rho v_s^2\)
Es decir, si al lado izquierdo de la ecuación vale \(5\), el lado derecho también tiene que valer \(5\).
Supongamos que estás lavando el carro con una manguera y aprietas la punta. El diámetro de la manguera se achica y ahora el agua sale con mayor velocidad.
Como la velocidad de salida aumenta, la presión de salida tendrá que disminuir para mantener la igualdad de los términos a la derecha y a la izquierda de la ecuación.
Es decir que si la velocidad a la salida aumenta, la presión a la salida va a disminuir.
CONCEPTO TRES: A MAYOR SECCIÓN, MAYOR PRESIÓN
Hasta ahora relacionamos el concepto de sección con el de velocidad y el concepto de velocidad con el de presión. Ahora vamos a relacionar el concepto de sección con el de presión.
Por un lado dijimos que a menor sección, mayor velocidad (Continuidad).
Por otro lado te dije que a mayor velocidad, menor presión. (Bernoulli en tubos horizontales).
Uniendo estas \(2\) ideas en una sola, podemos decir que a menor sección, menor presión. O lo que es lo mismo, "a mayor sección, mayor presión".
Esta conclusión significa que donde mayor sea el diámetro del tubo, mayor va a ser la presión en el líquido que circula. Esto es válido sólo para tubos horizontales.
EJEMPLO 1: Por un caño horizontal circula un caudal de \(10\ m^3/seg\) de agua.
a) Calcular la velocidad del agua en una parte donde el caño tiene una sección de \(2\ m^2\) y en otra parte donde el caño tiene una sección de \(1\ m^2\)
b) Calcular la diferencia de presión que existe entre estas \(2\) secciones
c) ¿Dónde es mayor la presión?, ¿en la sección de \(2\ m^2\) o en la de \(1\ m^2\)?
a) Para calcular las velocidades a la entrada y a la salida planteamos continuidad:
\(Q_e\ =\ v_e\ *\ S_e\)
\(Q_s\ =\ v_s\ *\ S_s\)
Sabemos que:
\(Q_e\ =\ Q_s\ =\ 10\ m^3/seg\)
Las velocidades son entonces:
\(v_e\ =\ \frac{Q_e}{S_e}\ =\ \frac{10\ m^3/seg}{2\ m^2}\ =\ 5\ m/s\)
\(v_s\ =\ \frac{Q_s}{S_s}\ =\ \frac{10\ m^3/seg}{1\ m^2}\ =\ 10\ m/s\)
b) Para calcular la diferencia de presión planteamos Bernoulli para tubos horizontales:
Como nos piden la diferencia de presión se pasan las dos presiones para el mismo miembro de la ecuación:
\(P_e\ -\ P_s\ =\frac{1}{2}\rho v_s^2\ -\ \frac{1}{2}\rho v_e^2\\)
Podemos sacar factor común y la ecuación será:
\(P_e\ -\ P_s\ =\frac{1}{2}\rho \left(v_s^2\ -\ v_e^2\right)\)
Conviene recordar la ecuación de Bernoulli escrita así. A alguna gente le resulta más fácil trabajar con la ecuación de Bernoulli puesta en función de la diferencia de presiones.
\(P_e\ -\ P_s\ =\frac{1}{2}\ 1000\ kg/m^3 \left( 10\ m/s\ -\ 5\ m/s \right)\)
\(P_e\ -\ P_s\ =\ 37000\ P_a\)
c) La presión a la entrada es mayor que a la salida. Nos damos cuenta de eso porque a la entrada la velocidad es menor (La sección a la entrada es mas grande). Y como la velocidad es menor, la presión será mayor. Para deducir esto aplicamos el concepto de “a mayor velocidad, menor presión”.
PREGUNTA: ¿Cómo se encuentra la presión y la sección, si la velocidad aumenta?