MATEMÁTICAS 11: 3 Lección: Repaso de álgebra.: Repaso de álgebra.

3 Lección: Repaso de álgebra.

Intento: 11

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EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica es una combinación de símbolos representativos de números reales, mediante las operaciones suma, diferencia, producto y cociente.

Un polinomio en $x$ de grado $n$ es una expresión algebraica de la forma:

$P(x)=a_0+a_1x+a_2x^{2}+a_3x^3+...+a_nx^n$ , donde $n \in N \acute umeros^{+}$ y $a_n \not= 0$ .

PRODUCTOS NOTABLES

Si $x,\,y\in\mathbb{R}$ , entonces se cumple:

$(x+- y)^{2}=x^{2}+-2xy+y^{2}$

$(x+- y)^{2}=x^{3}+-3x^{2}y+3xy^{2}+-y^{3}$

$x^{3}+-y^{3}=(x+-y)(x^{2}-+xy+y^{2})$

$(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}$

$(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd$

FORMULA DEL BINOMIO DE NEWTON

Si $x,\,y\in\mathbb{R}$ , entonces se cumple:

$(x+y)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}y+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}y^{2}+\,...\,+\frac{n(n-1)(n-2)\,...\,(n-r+1)x^{n-r}y^{r}}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\, ...\,\cdot r}+\,...\,+y^{n}$

OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

Si $A,\,B,\,C$ y $D$ son expresiones algebraicas, entonces:

$\frac{A}{B}+\frac{C}{B}=\frac{A+C}{B}$ ; $\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{AD+BC}{BD}$

$\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B\cdot D}$ ; $\frac{A}{B}\div \frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}=\frac{A\cdot D}{B\cdot C}$

SISTEMA LINEAL DE ECUACIONES.

Las funciones lineal se define mediante el conjunto:

$L=\{(x,y)\in \mathbb{R^{2}}:y=mx+b;\,m\,y\, b\,constante\}$ , el cual representa una recta en el plano cartesiano.

Resolver simultáneamente el sistema de ecuaciones:

$\displaystyle { a_1x+b_1y+c_1\atop a_2x+b_2y+c_2}$

es encontrar el punto de intersección de las rectas que representan, si ellas no son paralelas. Si son paralelas, el sistema es incompatible.

Los métodos sustitución, igualación, comparación y gráfico se emplean para hallar la solución al sistema.

Un sistema lineal de ecuaciones con tres incógnitas, es un conjunto de ecuaciones de la forma:

$\displaystyle { a_1x+b_1y+c_1z=d_1\atop a_2x+b_2y+c_2z=d_2\atop a_3x+b_3y+c_3z=d_3}$

Los métodos más empleados para resolver este sistema son: el método de eliminación de Gauss y el método o regla de Cramer.

PROGRESIONES ARITMŔTICAS Y GEOMÉTIRCAS

La sucesión $a_1,\,a_2,\,...,\,a_n,\,...$ ,se denomina progresión aritmética si $a_{n-1}=a_n + r, \forall n \in \mathbb{Z^{+}},\,r \not=0$ constante, $r$ se denomina razón aritmética.

La sucesión $a_1,\,a_2,\,...,\,a_n,\,...$ ,se denomina progresión geométrica si $\frac{a_{n+1}}{a_n}=r, \forall n \in \mathbb{Z^{+}},\,r \not=0$ constante, $r$ se denomina razón geométrica

El término $a_n$ de una progresión aritmética es $a_n=a_1+(n-1) \cdot r$ .

El término $a_n$ de una progresión geométrica es $a_n=a_{(n-1)} \cdot r=a_1 \cdot r^{n-1}$ .

La suma de los $n$ primeros términos de la progresión aritméticas es:

$S_n=\frac{n \cdot (a_1+a_n)}{2}= \frac{n}{2}[2a_1+(n-1)r]$

La suma de los $n$ primeros términos de la progresión geométrica es:

$S_n=\frac{a_1(r^{n-1})}{r-1},\,r \not= 1$ .

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

Si $A$ y $B$ son expresiones algebraicas y $\frac{n}{m},\,\frac{p}{q}$ son números racionales, entonces:

$A^{\frac{n}{m}}= \sqrt[m]{A^{n}}$ .

$(A \cdot B)^{\frac{n}{m}}=A^{\frac{n}{m}}\cdot B^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{A^{n} \cdot B^{n}}$ .

$A^{\frac{n}{m}} \cdot A^{\frac{p}{q}}=A^{\frac{n}{m}+\frac{p}{q}}$

$\frac{A^{\frac{n}{m}}}{\frac{p}{q}}=A^{\frac{n}{m}-\frac{p}{q}}$

$\left(A^{\frac{n}{m}}\right)^{\frac{p}{q}}=A^{\frac{n \cdot p}{m \cdot q}}$

$A^{-\frac{n}{m}}=\left(A^{-1} \right)^{\frac{n}{m}}=\frac{1}{A^{\frac{n}{m}}}$ .

$\frac{B}{\sqrt{A}}=\frac{B \sqrt{A}}{A}$ .

$\frac{B}{\sqrt[m]{A}}=\frac{B \sqrt[m]{A^{m-1}}}{A}$ .

$\frac{1}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\frac{\sqrt{A}-\sqrt{B}}{A-B}$ .

$\frac{1}{\sqrt{A}-\sqrt{B}}=\frac{\sqrt{A}+\sqrt{B}}{A-B}$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B}}=\frac{\sqrt[3]{A^{2}}-\sqrt[3]{AB}+\sqrt[3]{B^2}}{A+B}$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{A}-\sqrt[3]{B}}=\frac{\sqrt[3]{A^{2}}+\sqrt[3]{AB}+\sqrt[3]{B^2}}{A-B}$ .

ECUACIONES CUADRÁTICAS

La función cuadrática está definida por el conjunto $\{(x,y): y=f(x)=ax^{2}+bx+c;\,a,\,b\, y\,c\, constantes, \, a \not=0 \}$ .

la gráfica de la función cuadrática es una parábola y tiene como ceros los valores de $x$ para los cuales $y=f(x)=0$ .

La expresión $ax^2+bx+c=0$ con $a\not=0$ , se llama ecuación general de segundo grado en la incógnita $x$ o ecuación cuadrática.

La fórmula general para la solución de la ecuación es:

$x=\frac{-b+- \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ .

Toda ecuación de segundo grado, tiene dos raíces:

$x_1=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\,\, ,\,\,x_2=\frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ y cumplen las siguientes propiedades:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a};\, x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}$

llamamos discriminante a la expresión $sqrt{b^{2}-4ac}$ .

Si $b^{2}-4ac=0$ , la ecuación tiene dos raíces iguales.

Si $b^{2}-4ac>0$ , la ecuación tiene dos raíces reales diferentes.

Si $b^{2}-4ac<0$ , la ecuación tiene dos raíces que son números complejos.

FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARITMICA.

Una función $f$ tal que $f(x)$ es un polinomio en $x$ , se denomina función polinómica.

Teorema del residuo: si $f$ es una función polinómica real y si $a\in \mathbb{R}$ , entonces $f(a)$ es igual al residuo de dividir $f(x)$ entre $x-a$ .

Recuerde que $f(x)=g(x)\,\,(x-a)+r$ es el algoritmo de la división de polinomios.

Teorema del factor: si $f$ es una función polinómica real y si $f(a)=0$ donde $a \in \mathbb{R}$ , entonces $(x-a)$ es un factor de $f(x)$ .

FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARITMICA.

Sea $a$ un número real positivo. Llamamos función exponencial de base $a$ , a la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x)=a^{x}$ .

Se llama logaritmo de un número $M$ en la base $a$ y se indica por $log_a M$ , al exponente al que hay que elevar la base $a$ para obtener como resultado el número $M$ .

Sea $a$ un número real positivo diferente de $1$ . Llamamos función logarítmica de base $a$ , a la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $y=f(x)=log_a x$ indica el único exponente y tal que $a^y=x$ .