ARCOS, CUERDA Y ÁNGULOS CENTRALES
El siguiente teorema es consecuencia inmediata de las definiciones anteriores.
Arcos y ángulos centrales.
En una circunferencia o en circunferencias congruentes, dos arcos menores son congruentes si y sólo si sus ángulos centrales son congruentes.
Adición de medidas de arcos.
La medida del arco formado por dos arcos con un solo punto en común es al suma de las medidas de los arcos.
En la figura podemos observar que m AB + m BD = m ABD
Demostremos ahora las relaciones que existen entre las cuerdas y los arcos asociados a ellas..
Cuerdas y Arcos.
En una circunferencia o en circunferencias congruentes, dos arcos menores son congruentes si y sólo si
sus cuerdas asociadas lo son.
Recordemos que un teorema presentado en forma de bicondicional resulta ser en realidad dos teoremas. Haremos la demostración de uno de ellos.
Sabemos cómo construir la bisectriz de un ángulo y de un segmento. ¿Habrá un método para construir la bisectriz de un arco? Tal vez el siguiente teorema justifique un método posible.
Diámetro y arco:
Si un diámetro es perpendicular a una cuerda, entonces biseca a la cuerda y al arco asociado.
Dibujemos una circunferencia y dos cuerdas que parezcan congruentes.¿Cómo podemos estar seguros que lo son ? ¿Qué relación hay entre la longitud de las cuerdas y su distancia del centro ? Recordemos que la distancia entre un punto y una recta es la longitud del segmento perpendicular desde el punto hasta la recta. Comparemos las conclusiones a las que llegamos con los siguientes teoremas.
Comparación de distancias y longitudes de cuerdas:
En una circunferencia o en circunferencias congruentes se tiene:
a. Cuerdas equidistantes del centro son congruentes.
b. Cuerdas congruentes son equidistantes del centro.
Demostrando la parte a. se tiene:
PREGUNTA: Dos arcos menores son congruentes si y sólo si sus ángulos centrales son congruentes.