LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
Al resolver ecuaciones algebraicas, en los números reales, es evidente que toda ecuación de primer grado con incógnita \(x\), puede reducirse a la forma \(ax+b=0\).
\((con a \not\equiv 0)\) y su solución única es el numero real \(x=-{b\over a}\).
Si la ecuación es de segundo grado para la incógnita \(x\) puede reducirse a la forma \(ax^{2}+bx+c=0\). \((con a \not\equiv 0)\), y en tal caso:
-Su conjunto solución tiene dos elementos, que son números reales
\(x1={-b + \sqrt{b^{2}-4ac}\over 2a}\) \(x2={-b-\sqrt{b^{2} -4ac}\over 2a}\), siempre y cuando se cumpla que \(b{2}-4ac>0\).
-Su conjunto solución tiene un solo elemento, que es el número real \(x={-b\over a}\),cuando \(b^{2}-4ac=0\).
- Su conjunto solución no tiene elementos reales, es decir, la ecuación no tiene elementos en los números reales si \(b^{2}-4ac<0\), por cuanto no existe un numero real cuyo cuadrado sea un número negativo. Recordemos que \(a^{2}>0\) para todo numero real a. 1
En particular la ecuación cuadrática \(x^{2}+1=0\), que puede escribirse como \(1x^{2}+0x+1=0\), tiene como soluciones \(x1=\sqrt{-1}\) y \(x2 =-\sqrt{-1}\), números que no son reales.
Al mismo resultado llegamos si se toma la ecuación \(x^{2}+1=0\) y escribimos \(x^{2}=-1\); en tal caso, es necesario encontrar un numero cuyo cuadrado sea \(-1\);de acuerdo con 1, es imposible que tal número sea un número real.
Por lo tanto los matemáticos llamaron imaginarios a los números cuyo cuadrado es un número negativo y posteriormente idearon el símbolo i, por i comienza la palabra imaginario, para representar al número cuyo cuadrado es \(-1\), es decir, establecieron que \(i^{2}=-1\).
Como resultado tenemos que \(i\) no es un número real y además que el real producto de un real por tampoco es un número real.¿Por qué?
Como en los números reales todo cuadrado es un número real no negativo, la solución de la ecuación \(x^{2}=-1\) no es un numero real. Se acepta que existe un numero notado \(i\), que no es real, para el cual
\(i^{2}=-1\).
Ahora nos preguntamos: si adicionamos un número real con el producto de un real por i, ¿ la suma \(a+bi\) es un numero real?
Si \(a+bi\) fuera un número real \(c\), entonces \(bi=c-a\) sería también un número real, lo cual no es posible.
Ejemplo:
– Para el número complejo \({4 \over 5}+3i\) la parte real es \({4 \over 5}\) y la parte imaginaria es \(3i\).
– Para el número complejo \(-2-0,7i\) la parte real es \(-2\) y la parte imaginaria es \(-0,7i\) .
– Para el numero complejo \(\sqrt{5i}\) la parte real es \(0\) y la parte imaginaria es \(\sqrt{5i}\).
Ejemplo: Hallemos la suma de \((3-{3\over 4i})\) y \((-0,2+{1\over4i})\)
Para obtener la suma operamos las partes reales y las partes complejas por separado; el resultado es :
\((3-{3\over4i})\) y \((-0,2+{1\over4i})=(3-0,2)+{3\over4i}+{1\over4i}=2,8-{1\over2i}\)
Si \(a,b,c\) y \(d\) son números reales, entonces :
\((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\).
Por lo tanto la adición de dos números complejos es un numero complejo, cuya parte real es la suma de la parte real de los sumandos y la parte imaginaria es la suma de la parte imaginaria de los sumandos.
Las propiedades de la adición de números complejos son las mismas que las de la adición de números reales.
Módulo de la adición de los números complejos:
Si suponemos que el módulo tiene la forma \(x+yi\), entonces:
\((a+bi)+(x+yi)=(a+x)+(b+y)i=(a+bi)\)
Luego \(x=0\) y \(y=0\). En conclusión el modulo de la adición de los complejos es el complejo \(0+0i\)
Opuesto del complejo a + bi:
Para que \((a+bi)+(m+ni)=(a+m)+(b+n)i=0+0i\)
Se debe cumplir que \(m=-a\) y \(n=-b\).
Por tanto, el opuesto de \((a+bi)\) es \((-a-bi)\).
El modulo de la adición de los números complejos es el numero complejo \(0+0i\) y el opuesto del complejo \(a+bi\) es el número \(-a-bi\).
Producto de dos números complejos:
Encontremos el producto de \((3+0.5i)\) y \((1,2-2i)\).
Para obtener el producto de dos números complejos utilizamos una propiedad análoga a la distributiva de la multiplicación de los reales y las propiedades asociativa y conmutativa de la adición de reales y complejos. Finalmente tenemos en cuenta que \(i^{2}=-1\), entonces :
\((3+0,5i)\) y \((1,2-2i)=3(1,2-2i)+0,5i(1,2-2i)\)
\(=(3,6-6i)+(0,6i-1i^{2})\)
\(=3,6+(0,6i-6i)-1(-1)\)
\(=(3,6+1)+(0,6i-6i)\)
\(=4,6+(5,4)i\)
Si \(a,b,c\) y \(d\) son números reales, entonces:
\((a+bi)+(c+di)= ac + adi +bci+bdi^{2}\)
\(=(ac-bd)+(ab+bc)i\), porque \(i^{2}=-1\).
Las propiedades de la multiplicación de complejos son las mismas que cumple la multiplicación de números reales.
Módulo de la multiplicación de los números complejos:
Podemos verificar que el módulo de la multiplicación de complejos es el número \(1+0i\),\(m\) que es el módulo de la multiplicación de los reales, escrito como complejo.
Sea \(a+bi\) un complejo cualquiera :
\((a+bi)(1+0i)=a*1+a*0i+1*bi+(bi)*(0i)\)
\(=a+bi\)
Inverso multiplicativo del complejo a+bi:
Para determinar el inverso multiplicativo de un complejo \(a+bi\), vamos en primera instancia a suponer que tiene la forma \(1\over (a+bi)\), pero esta forma no es binómica.
Para transformarlo multipliquemos tanto el numerador como el denominador de esta expresión por \(a-bi\).
el conjugado de \(a+bi\);
\({1 \over a+bi}={1\over a+bi}*{a-bi\over a-bi}\)
\(={a-bi \over a^{2}+abi-abi-b^{2}i^{2}}\)
\(=({a-bi \over a^{2}+b^{2}})i\) , porque \(i^{2}=-1\)
\(={a \over a^{2}+b^{2}}+{- b\over a^{2}+b^{2}}i\)
Este número es un complejo, cuya parte real es \({a\over a^{2}+b^{2}}\) y la parte imaginaria es \({-bi\over a^{2}+b^{2}}\); para que existan estos números reales es necesario que
\(a^{2}+b^{2}\not 0\), que es equivalente a afirmar que para que uno complejo tenga inverso multiplicativo debe cumplirse que \(a\not 0\) y \(b\not 0\).
Ejemplos:
\(a.(3,45+{1\over2}i)+(1,15-0,3i)\).
\((3,45+{1\over2}i+(1,15-0,3i)=(3,45+1,15)+(1{1\over2}-0,3)i=4,6+0,2i\)
\(b.(4,3-{3\over5}i)-({15\over10}+0,1i)\)
\((4,3-{3\over5}i)-({15\over10}+0,1i)=(4,3-{15\over10})+(-{3\over5}-0,1)i=2,8-0,7i\)
\(c.(5+3,5i)(1,2-0,2i)\)
\((5+3,5i)(1,2-0,2i)=6-1i+4,2i-0,7i^{2}\)
\(=6+3,2i+0,7\)
\(=6,7+3,2i\)
\(d.i^{3}=i^{2}*i^{1}=-1*i=-i\)
PREGUNTA: ¿Cuál es el resultado de operar \({(2-{4\over 5}i) \over (1-0,2i)}={(2-{4\over 5}i)\over(1-0,2i)}*{(1+0,2i)\over(1+0,2i)}\)?