POTENCIACIÓN EN LOS NÚMEROS REALES
Al estudiar algunos subconjuntos de los números reales como los naturales, los enteros y los racionales, se vio la potenciación. Por ejemplo sabemos que:
\(2^4=16;\, (-3)^5=-243;\, (-5)^{-2}=\frac{1}{25};\, 4^{-3}=\frac{1}{64}\)
La potenciación en lo números reales se define de manera que, una vez más, se conserve la operación y sus propiedades en los subconjuntos de los números reales ya estudiados.
Si \(a\) es un número real y \(n\) es un entero positivo, la expresión \(a^n\) es el producto que resulta de tomar \(a\) como factor \(n\) veces, es decir.
\(a^n=\,\underbrace{a \time a\time \cdots \time a}_{\Large{n\,veces}}\)
Aquí \(a\) se llama base, \(n\) se llama exponente y \(a^n\) es la potencia (también se acostumbra llamar potencia al resultado). En particular \(a^1\) es igual a la base \(a\).
\(a^1=a\), para todo número real.
Ejemplo 1: \(2^1=2,\, 6^1=6,\,100^1=100,\,12045^1=12045\).
Además cuando la base sea \(1\) o \(0\) tenemos:
\(1^n=1,\) para todo número entero \(n\).
Ejemplo 2: \(1^2=1\time 1=1,\, 1^4=1 \time 1 \time 1 \time 1 = 1\)
\(0^k=0\), para todo número entero positivo \(k\).
Ejemplo 3: \(0^3=0 \time 0 \time 0 = 0,\, 0^5=0 \time 0 \time 0 \time 0 \time 0 = 0\).
Si la base es un número real \(a\) diferente de \(0\) y el exponente es un número entero negativo \(n\), entonce la potencia \(a^n\) es el número real que se obtiene como:
\(a^{-n}=(\frac{1}{a})^n=\underbrace{\frac{1}{a}\time \frac{1}{a}\time \cdots \time \frac{1}{a}}_{\Large{n\,veces}}=\frac{1}{\underbrace{a \time a \time \cdots \time a}_{\Large{n\,veces}}}=\frac{1}{a^n}\)
Ya definimos la potencia \(a^n\) para \(n\) entero positivo o negativo, ahora, si el exponente \(n\) es igual a \(0\), la potencia se define de la siguiente manera:
\(a^0=1\), para todo número real a, \(a\neq 0\). Ejemplo: \(12^0=1,\, 125^0=1,\,12,354^0=1\).
Ejemplo 4: Escribamos la operación que nos permita calcular cada potencia indicada y calculémosla.
a) \((-4)^3=(-4) \time (-4)\time (-4)=-64\)
b) \((\sqrt{2})^3=(\sqrt{2})\time (\sqrt{2})\time (\sqrt{2})=[(\sqrt{2})\time (\sqrt{2})] \time \sqrt {2}=2 (\sqrt{2})\).
Al efectuar el proceso de elevar un número real a un entero, es necesario tener en cuenta el signo de la base y el número de veces que se toma como factor, para determinar el signo de la potencia. Así se puede llegar a las conclusiones de la tabla:
Podemos combinar la potenciación con la suma y la multiplicación. Veamos.
Ejemplo 5:
a) \((-sqrt{3})^4+6^2=\)
\(9+36=45\)
b) \(2^3+(-\sqrt{5})^2\).
como ninguna de las propiedades estudiadas en la potenciación con números racionales es aplicable para esta operación, entonces:
\(2^3+(-\sqrt{5})^2=\)
\(8+5=13\).
Ahora, recordemos cómo se efectúan las multiplicaciones y divisiones de potencias en las que la base o el exponente son iguales. Las propiedades que se cumplen en los números racionales se deben cumplir al operar con números reales.
Ejemplo 6: \([(\sqrt[8]{3})^4]^2\)
\(=(\sqrt[8]{3})^{4 \time 2}\)
\(=(\sqrt[8]{3})^8=3\)
Las propiedades de la potenciación relacionadas con las operaciones de las familias aditiva y multiplicativa, siempre que las expresiones resultantes tengan sentido en el conjunto de los números reales, son:
Si \(a\) es un número real y \(m,\,n\) son números enteros, entonces: \(a^m \time a^n=a^{m+n}\).
Ejemplo 7: \( 3^4 \time 3^2 = 3^{4+2}=3^6\).
Si \(a\) es un número real distinto de \(0\) y \(m,\,n\) son enteros, entonces: \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\).
Ejemplo 8: \( \frac{4^5}{4^2}=4^{5-2}=4^3\).
Si \(a,\,b\) son números reales y \(m\) , es un número entero, entonces: \((a \time b)^m=a^m \time b^m\).
Ejemplo 9: \( (2 \time 3)^3= 2^3 \time 3^3\).
Si \(a\) es un número real y \(m,\,n\) son números enteros, entonces: \((a^m)^n=a^{m \time n}\).
Ejemplo 10: \((4^2)^6=4^{2 \time 6}=4^12\).
PREGUNTA: El resultado de la operación: \((\sqrt{4})^4\) es: