PROBLEMAS DE APLICACIÓN
El lenguaje algebraico se convierte en una herramienta más para la resolución de problemas. Recordemos que para solucionas algún problema, ya sea de índole matemático o no, debemos determinar un plan para analizar la situación. Cada situación problemática requiere de cierta información, que puede estar dada o debe investigarse. Es posible que dicha información pueda traducirse al lenguaje algebraico, lo cual hará más fácil el proceso de solución.
Hay problemas matemáticos que describen una situación en la que ciertas cantidades están relacionadas. Algunos números se dan en el problema y otros son desconocidos. El problema consiste en descubrir el valor de los números desconocidos usando la información dada. La relación que existe entre los números puede expresarse usando el lenguaje algebraico. Los pasos que podemos seguir para encontrar la expresión algebraica correspondiente son:
Ejemplo 1: Leyendo el periódico, Darío encuentra la información de la figura sobre el parque natural Chicúa, distante \(45\) minutos de la ciudad en la cual vive.
Darío quiere organizar un paseo al parque con sus amigos. Ellos preguntaron: ¿cómo se llega? ¿de cuánto dinero debemos disponer? ¿cómo nos vestimos? ¿cuánto tiempo estaremos allá?
La información incluida en el periódico ayudará a Darío a responder algunas de las preguntas.
Expresión algebraica:
a. Si \(x\) es la cantidad de dinero que se debe tener, entonces: \(x>4000\).
b. Si \(t\) es el tiempo (en horas) que durará el paseo, estando en el parque desde que abren hasta que cierran, se tiene: \(t \geq 9,5\)
c. Si \(T\) es la temperatura, entonces \(T\) es mayor que \(6\) y menor que \(20\). Esto se expresa en la desigualdad: \(6 \leq T \leq 20\).
d. Si \(q\) representa la altura sobre el nivel del mar: \(2100 \leq q \leq 2700\)
Conclusión:
a. Deben tener más de cuatro mil pesos, pues faltan por incluir los costos de transporte y alimentación.
b. El viaje al parque tarda por lo menos \(45\) minutos y van a estar allá \(8\) horas.
c. Deben usar ropa no muy liviana, pero con la posibilidad de abrigarse más si hace frío.
d. Esto indica que el terreno no es plano y el camino debe ser quebrado. Por tanto, deben usar botas o tenis.
Ejemplo 2: Darío gastó \( $ 14400\) en el alquiler de un caballo. ¿Cuántas horas montó a caballo?
→Debemos determinar el número de horas que Darío montó a caballo.
→Representamos este número con la letra \(t\).
→Como en el periódico informan que el costo por hora es \( $4800\), la relación que existe entre los datos dados y lo desconocido puede expresarse así: \(4800\ t\ =\ 14400\). Resolviendo la ecuación encontramos el valor de la cantidad desconocida. En este caso \(t=3\), porque \(4800 \times 3 \ = \ 14400\)
Ejemplo 3: Esteban, un amigo de Darío, gastó en transporte lo mismo que en alimentación. Si incluyendo el valor de la entrada gastó \( $16000\), ¿cuánto lo costó el trasporte?.
→Debemos determinar cuánto costó el trasporte.
→Sea \(w\) el valor del trasporte.
→Como el costo de la alimentación es igual al del trasporte, \(w\) también representa el valor de la alimentación. Por tanto, la relación entre los números es:
\(400 + w + w \ = \ 16000\).
Resolviendo esta ecuación encontramos que:
\(w=6000\), porque
\(4000 + 6000+ 6000=16000\)
Ejemplo 4: Los jóvenes descubrieron que el recorrido desde la entrada hasta el pico del Águila es \(4,2\) kilómetros más corto que el resto del camino. ¿Cuál es la distancia desde la entrada hasta el pico del Águila?
→Debemos caluclar cuál es la distancia desde la entrada al parque hasta el pico del Águila.
→Representemos esa distancia con \(t\).
→Si la distancia desde la entrada hasta el pico es \(4,2\ km\) menos que el resto del recorrido, el último tramo mide \(t + 4,2 \ km\).
Como vemos en la figura anterior la unión de los dos recorridos es el sendero completo, el cual mide \(10 \ km\). De esta forma, tenemos:
\(t \ +\ \left( t + 4,2 \right) \ = \ 10\)
La solución de esta ecuación es:
\(t=2,9\) porque
\(2,9 \ + \ \left(2,9 \ + \ 4,2 \right) \ = \ 10\)
Los ejemplos anteriores nos muestran la importancia de escribir una ecuación para expresar la relación que existe entre las cantidades conocidas y las desconocidas en un problema.
PREGUNTA: ¿El dinero de Saúl es el doble del que tiene Horacio. Si Saúl tiene \(d\) pesos, entonces Horacio tiene?