PERMUTACIONES Y COMBINACIONES DE LOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO.
Figura 1. Concepto de permutación.
Ejemplo 1: La profesora de matemáticas de grado séptimo escribe en el tablero los números \(1,3,5,7 \ y \ 9\) y formula las siguientes preguntas.
Figura 2. Profesora de matemáticas.
¿Cuántas números de dos cifras diferentes pueden formarse utilizando dígitos impares?
Para formar estos números podemos trazar el diagrama de árbol:
Figura 3. Diagrama de árbol ejemplo 1.
¿Cuántos números puedes escribir como primer dígito ?
¿Cuántos números de dos cifras puedes formar con cada uno de ellos ?
¿Cuántos números de dos cifras se obtienen en total ?
En efecto, cinco dígitos es posible obtener \(20\) números de dos cifras, ya que \(5*4=20\)
A cada arreglo de elementos lo la llamaremos permutación.
El profesor pregunta a sus alumnos: si al determinar los números de dos cifras podemos repetir los dígitos,¿cuántos números resultan?
¿Cuántos números de dos cifras se obtienen ?
Veamos el diagrama arboral de la figura 4 y digamos ¿cuántos números de dos cifras se obtienen?.
Figura 4. Diagrama de árbol, números de dos cifras.
Figura 5. Número de permutaciones.
Ejemplo 2: Se construyen las fichas para un juego asignándole a cada una un código que tiene dos vocales y dos dígitos. ¿Cuántas fichas diferentes se resultan?.
→Existen \(5\) vocales y \(10\) dígitos. Si no se permite la repetición de letras ni de dígitos, entonces resultan \(5\times 4\) pares de vocales y \(10\times9\) pares de dígitos. Para codificar la ficha, a cada par de vocales podemos asignarle cualquier par de números; en este caso resultan \(\(5\times4 \) \times \(10\times9 \)\) fichas.
→ Si se permiten repetir las vocales y los dígitos, resultan \(5\times5\) pares de vocales y \(10\times10\) pares de dígitos, en total se logran \(\(5\times5 \) \times \(10\times10 \)\), fichas.
Ejemplo 3: Una maestra propone \(4\) preguntas a sus estudiantes en una evaluación. Cada estudiante debe contestar dos de ellas, en cualquier orden. ¿Cuántos cuestionarios diferentes de evaluación debe corregir la maestra?
Si llamamos a las preguntas \(P_1, \ P_2, \ P_3, \ P_4\), los alumnos pueden elegir dos de ellas en cualquier orden, es decir, deben conformar grupos de dos con esas cuatro preguntas. Por tanto, deben encontrar los subconjuntos de dos elementos no repetidos del conjunto de elementos \(P_1, \ P_2, \ P_3, \ P_4\). Los posibles grupos diferentes de respuestas son:
\(\Large \(P_1, \ P_2 \); \ \(P_2, \ P_1 \); \ \(P_1, \ P_3 \); \ \(P_3, \ P_1 \); \ \(P_1, \ P_4 \); \ \(P_4, \ P_1 \); \ \(P_2, \ P_3 \)\)
\((P_3, \ P_2 \); \ \(P_2, \ P_4 \); \ \(P_4, \ P_2 \); \ \(P_3, \ P_4 \); \ \(P_4, \ P_3 \)\)
Observemos que todos los grupos tienen dos elementos que son, a la vez, elementos del conjunto de las preguntas.
La maestra calcula las permutaciones de las cuatro preguntas tomadas de dos en dos y le resultan \(12\) posibles grupos de respuestas. Considera que responder \(\( P_1, \ P_3 \)\) es lo mismo que contestar \(\( P_3, \ P_1 \)\) y por eso divide \(12 \div 2\) y le dan \(6\) posibles grupos de respuesta para corregir.
\(\Large \(P_1, \ P_2 \); \ \(P_1, \ P_3 \); \ \(P_1, \ P_4 \); \ \(P_2, \ P_3 \); \ \(P_3, \ P_4 \)\)
Figura 6. Concepto de combinación.
Ejemplo 4: Encontremos todas las permutaciones y combinaciones con dos elementos del conjunto A\ = {letras de la palabra ROMA}, sin repetición de letras.
\(k\ = \ 4\) es el número de elementos del conjunto; \(2\) es el número de elementos del arreglo.
Permutaciones sin repetición:
\(k\times \(k-1\) \ = \ 4 \times 3 \ =\ 12\)
Combinaciones:
\(\frac {k \times \(k - 1\)}{2}\ =\ \frac{4 \times 3}{2}\ =\ 6\)
Figura 7. Diagrama de árbol ejemplo 4.
Como la combinación RO es la misma OR, y así ocurre con las demás, entonces por cada dos con las mismas letras sólo tomamos una, por tanto, nos resulta:
RO, RM, RA, OM, OA, MA.
Ejemplo 5: En un colegio de primaria hay \(5\) cursos y cada uno tiene un equipo de fútbol. Si se hace un campeonato en donde juegan todos contra todos, ¿cuántos juegos se deben programar?
Cada uno de los cinco equipos debe jugar con los cuatro restantes, pero el juego \(1o.\) contra\(3o.\) es el mismo \(3o.\) contra \(1o.\), luego solamente se programarán \(10\) partidos.
PREGUNTA:Juanita acaba de sacar tres libros de la biblioteca. Al acomodarlos en el estante, no recuerda cómo se encontraban; ¿de cuántas formas puede acomodarlos? Si recuerda que uno de ellos, el de historia, estaba en medio de los otros dos.
Figura 8. Pregunta.