MATEMÁTICAS 6 y 7

NÚMEROS NATURALES

El conjunto de los número naturales, son todos aquellos que utilizamos cotidianamente para contar los elementos de un conjunto, objetos o cosas, también son utilizamos para ordenar elementos o para indicarnos las posiciones de estos. Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.

También podemos decir que los número naturales es un conjunto, que tiene como elementos todos los números entero no negativos del uno al infinito. Se denota este conjunto con la letra \(\Large\mathb{N}\).

Figura 1. Numeros naturales.

La representación del conjunto de los números naturales es:

\(\Large\mathb{N}=\{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\ldots\}\)

Dentro de este conjunto se encuentran varios subconjuntos como son:

• Los números pares,siempre terminan con un dígito de 0, 2, 4, 6 u 8.
  2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 son números pares.

• Los números impares, siempre terminan con un dígito de 1, 3, 5, 7, o 9.
  1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31 son números impares.

• Un número primo es un número natural mayor que \(1\), que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el \(1\).

Se contraponen así a los números compuestos, que son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del \(1\). El número \(1\), no se considera ni primo ni compuesto.

Los números naturales se pueden representar en la recta numérica.

Figura 2. Gráfico de la representación de los números naturales.

Cada uno de los puntos representa un número real en la recta estos se extienden al infinito.

Con los números naturales se pueden realizar diferentes operaciones matemáticas como la adición, sustracción, multiplicación y división.

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes propiedades:

• Es utilizado para contar los elementos de un conjunto.

• El proceso de enumeración de sus elementos no termina, por lo tanto es un conjunto infinito.

• Dado un número natural cualquiera, se sabe con seguridad qué natural sigue, por lo tanto es ORDENADO.

Dados dos números naturales cualesquiera a, b puede suceder alguna de las siguientes relaciones:

a es igual a b y se indica a = b

a es menor que b y se indica a < b

a es menor que o igual a b y se indica a \(\leq\) b

a es mayor que b y se indica a > b

a es mayor que o igual a b y se indica a \(\geq\) b

Los número naturales, es un conjunto infinito, es decir nunca vamos a terminar de contar los números naturales, ya que de tras de cada número hay otro. El conjunto de todos ellos se designan por \({N}\)

A continuación se muestra en la figura 3, una forma de representar el conjunto de los números naturales.

Figura 3. Representar el conjunto de naturales.

Observe que en el conjunto encontramos que después del dígito 9 hay unos puntos, esos puntos indican que el conjunto continua al infinito.

Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.

En este conjunto es importante tener en cuenta lo siguiente:

La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en \({N}\), pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto \( {Z}\) de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.

La división tampoco es una operación interna en \({N}\), pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto \({Q}\) de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero).

PREGUNTA: Las operaciones cerradas o internas en el conjunto de los números naturales \({N}\) son: