MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
Para describir el movimiento rectilíneo de un cuerpo, se definió la posición, la velocidad y la aceleración del cuerpo y encontramos las ecuaciones cinemáticas del movimiento. De la misma manera, para describir el movimiento de rotación de un cuerpo, definiremos la posición angular y encontraremos las ecuaciones cinemáticas del movimiento circular.Consideremos un cuerpo que se mueve sobre un círculo de radio \(r\) con rapidez constante, es decir, cuando la magnitud del vector velocidad es constante.
Velocidad
La velocidad o vector velocidad en un movimiento circular es tangente a la circunferencia (solo toca en un punto a la circunferencia sin que halla intersección entre el vector y la circunferencia) y perpendicular al radio que llega al punto de tangencia.Además dicho vector velocidad varía en dirección más no en magnitud, es decir, va a ser del mismo valor pero de diferente dirección.
Está determinada por:
\(v=2\pi rn\)
Donde:r es el radio de la circunferencia que circunscribe el movimiento.n el número de vueltas.
Ejemplo 1: ¿Cuál es la velocidad media de una bicicleta que se mueve en linea recta, cuando sus ruedas de 40 cm de radio hacen 25 revoluciones por segundo?
Recordemos que una rps (revolución por segundo), significa 1 vuelta por segundo.
Siempre debemos expresar el tiempo en segundo.\(v=2*3,\, 14*0.4*25=\,62.8 m/seg\)Aceleración normal o centrípeta
En el movimiento circular uniforme, el módulo de la velocidad es constante; es decir, no varía. Sin embargo, en este tipo de movimientos sí existe una aceleración: la aceleración normal o centrípeta.Esta aceleración es responsable de que la trayectoria del móvil sea una circunferencia. La aceleración centrípeta está siempre dirigida hacia el centro de la circunferencia.
Está determinada por:\(a_c=\frac{v^2}{r}\)
La dirección de \(\vec{a}\) será la de \(\Delta\vec{v}\).Evidentemente, la dimensión de esta aceleración es en \(m/seg^2\) como se puede comprobar directamente.
Ejemplo 2: Una piedra gira en un circulo de radio \(r=2m\) a razón de \(n=10\) vueltas por segundo. ¿Cuál es su aceleración?
En un segundo, la piedra recorre una distancia igual a su rapidez.\(v=2\pi rn\)\(v=2\pi (2m)\frac{10}{s}\)\(v=125.66\frac{m}{s}\)
Y la aceleración es:\(a=\frac{v^2}{r}=\frac{(125.66\frac{m}{s})^2}{2m}=7895.7 m/seg^2\)Posición Angular
La posición angular se puede definir como la ubicación de la partícula o cuerpo en cuestion con respecto al punto origen o eje de rotacion de un sistema circular. Puede ser representada mediante un vector cuyo punto de aplicacion sea precisamente el punto fijo central (o eje de rotación) del sistema circular y una punta de flecha que indique la posición en la que se encuentra la particula u objeto en cuestión.
El ángulo formado por el vector anterior y la horizontal será la posición angular denominada \(\theta\), la cual puede ser calculada como el cociente del arco comprendido entre las dos posiciones de la partícula y el valor de la magnitud del vector que siempre será igual al radio del sistema circular empleado.
\(\theta=\frac{s}{r}\,\,\,\, (radianes)\)
Ejemplo 3: ¿Cuál es el valor en radianes del ángulo total alrededor de un punto?
El arco total subtendido es toda la circunferencia y vale \(s=2\pi\, r\), por lo tanto:\(\theta =\frac{s}{r}=\frac{2\pi r}{r}=2\pi\, radianes\)Así un ángulo de \(2\pi\, radianes\) es equivalente a 360 grados, por lo tanto 1 radián es igual a \(\frac{360}{2\pi}=27,3^\circle\). Un grado vale \(\frac{2\pi}{360}radianes\).Ejemplo 4: ¿Cuál es el valor en radianes el ángulo alrededor de un punto por encima de una recta?.El arco subentendido es una mitad de circunferencia, entonces:
\(\theta=\frac{2\pi r}{2r}=\pi rad\)
Ejemplo 5: ¿Cuál es el valor en radianes el ángulo recto?
El arco subentendido es ¼ de circunferencia, entonces:
\(\theta=\frac{2\pi r}{4r}=\frac{\pi}{2}rad\)Velocidad Angular
Para tener una idea de la rapidez con que algo se está moviendo con movimiento circular, se define la velocidad angular ω como el número de vueltas que da el cuerpo por unidad de tiempo.Si un cuerpo tiene gran velocidad angular quiere decir que da muchas vueltas por segundo.
\(\omega (rad/seg)=2\pi\, n( vueltas/seg)\)
\(\omega (rpm)=2\pi\frac{n}{60}\)
Otra manera de decir lo mismo es utilizando el ángulo girado por unidad de tiempo. Las unidades son grados por segundo o en radianes por segundo.
\(\bar{\omega}=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}\, rad/seg\)
Ejemplo 6:
1. Un disco de larga duración gira con una velocidad de \(33\frac{1}{3}\, rpm\). ¿Cuál es su velocidad angular?
\(\omega=2\pi\frac{33,3}{60}=3,5\, rad/seg\)
2. Un cuerpo gira un ángulo de 7200º en un tiempo de 5 segundos. ¿Cuál es su velocidad angular media?
\(\bar{\omega}=\frac{7200}{5}*\frac{2\pi}{360}=8\pi\, rad/seg\)
3. Un cuerpo gira con velocidad angular de 10 rad/seg. ¿Cuántas vueltas por segundo da?
\(n=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{10}{2\pi}=\frac{5}{\pi}\, vueltas/seg\)
4. Un cuerpo gira un ángulo de 1800º en un segundo. ¿Cuántas vueltas por segundo da?
Una vuelta corresponde a 360 º, por tanto, el número de vueltas por segundo es:
\(n=\frac{1800}{360}\ =\ 5\, vueltas/seg\)
PREGUNTA: Utilice la aplicación; con valores de Radio= 2m, Periodo=8s y Masa=9kg; determine la magnitud de la velocidad angular, aceleración centrípeta y fuerza centrípeta del movimiento circular descrito.